Chủ đề này có 5 trả lời

[chinhanh9]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $3ab+bc+2ca=6$. Tìm gía trị lớn nhất:

$$P=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{4}{b^{2}+4}+\frac{9}{c^{2}+9}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chinhanh9: 29-07-2013 - 04:05

[canhhoang30011999]

cau hoi la gì

[holmes2013]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $3ab+bc+2ca=6$. Chứng minh:

$$P=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{4}{b^{2}+4}+\frac{9}{c^{2}+9}$$

Câu hỏi là tìm giá trị lớn nhất của P hả bạn

[thanhdotk14]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $3ab+bc+2ca=6$. Chứng minh:

$$P=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{4}{b^{2}+4}+\frac{9}{c^{2}+9}$$

Bài giải:

Từ giả thiết ta suy ra: $\frac{ab}{2}+\frac{bc}{6}+\frac{ca}{3}=1$

Từ đó: tồn tại $0<A,B,C<\pi$ sao cho $a=tan\frac{A}{2},\frac{b}{2}=tan\frac{B}{2}, \frac{c}{3}=tan\frac{C}{2}$

$\Rightarrow tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1$

Từ đó dễ dàng suy ra $A+B+C=\pi$

Thay vào $P$ ta được:

$$P=\frac{1}{tan^2\frac{A}{2}+1}+\frac{4}{4tan^2\frac{B}{2}+4}+\frac{9}{9tan^2\frac{C}{2}+9}$$

$$=cos^2\frac{A}{2}+\cos^2\frac{B}{2}+cos^2\frac{C}{2}$$

$$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(cosA+cosB+cosC)$$

$$\le \frac{9}{4}$$

Từ đó ta có:

$MaxP=\frac{9}{4}\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}},b=\frac{2}{\sqrt{3}},c=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 28-07-2013 - 21:27

[chinhanh9]

Đề bài là tìm gía trị lớn nhất, mình nhầm một chút. Đã sửa lại.

[holmes2013]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $3ab+bc+2ca=6$. Tìm gía trị lớn nhất:

$$P=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{4}{b^{2}+4}+\frac{9}{c^{2}+9}$$

Đặt $b=2x; c=3y \left ( x,y> 0 \right )$. Ta có: $ax+xy+ay= 1$.

Khi đó: $P= \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}$

              $=\sum \frac{1}{\left ( a+x \right )\left ( a+y \right )}$

              $= \frac{2\left ( a+x+y \right )}{\left ( a+x \right )\left ( x+y \right )\left ( a+y \right )}$

              $\leq \frac{2(a+x+y)}{\frac{8}{9}\left ( a+x+y \right )\left ( ax+xy+ay \right )}= \frac{9}{4}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a= \frac{\sqrt{3}}{3}; b= \frac{2\sqrt{3}}{3};c= \sqrt{3}$