Chủ đề này có 4 trả lời

[AnnieSally]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3^{x}-y^{3}=1$

[bossulan239]

$3^{x}-y^{3}=1\Leftrightarrow 3^{x}=(y+1).(y^{2}+y+1)$

Đặt $y+1=3^{a}; y^{2}-y+1=3^{b}$

Thế $y=3^{a}-1\Rightarrow 3^{2a}-3^{a+1}+3=3^{b}$

Nếu  a=0 thì x=y=0

Nếu a=1 thì x=y=2

Nếu a$\geq 2$ $\Rightarrow 3^{b}\equiv 3 (mod 9)$

$\Rightarrow b=1$ $\Rightarrow$vô nghiệm

[duongtoi]

$3^{x}-y^{3}=1\Leftrightarrow 3^{x}=(y+1).(y^{2}+y+1)$

Đặt $y+1=3^{a}; y^{2}-y+1=3^{b}$

Thế $y=3^{a}-1\Rightarrow 3^{2a}-3^{a+1}+3=3^{b}$

Nếu  a=0 thì x=y=0

Nếu a=1 thì x=y=2

Nếu a$\geq 2$ $\Rightarrow 3^{b}\equiv 3 (mod 9)$

$\Rightarrow b=1$ $\Rightarrow$vô nghiệm

Đoan cuối sai rồi $3^b\equiv3\mod 9$ thì $b=2k+1$ chứ không phải là 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 28-07-2013 - 16:57

[duongtoi]

Nếu $y=0$ thì $x=0$.

Nếu $y\ne 0$ thì $x>0$.

Ta có $3^x=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$. Suy ra, $y+1;y^2-y+1$ là ươc của $3^x$

TH1: Nếu $y< 0$ hoặc $y\ge 2$

Nếu $y=-1$ suy ra vô nghiệm.

Nếu $y\ne -1$. Ta có $y^2-y+1\vdots (y+1)$ (vì $y^2-y+1\ge y+1$)

Suy ra $y^2-y+1=(y+1)^2-3y\vdots (y+1)\Rightarrow 3y\vdots (y+1)$.

Suy ra $3\vdots (y+1)$ vì $y;y+1$ nguyên tố cùng nhau.

Suy ra,

  - $y=2$. Thay vào ta được $x=2$.

  - $y=-2$. Thay vào ta được $3^x=-7$ (Loại)

  - $y=-4$. Thay vào ta được $3^x=-63$ (Loại)

TH2: Nếu $0<y<2$ thì $y=1$. Thay vào ta được $3^x=2$ Loại.

Vậy PT có nghiệm nguyên là $x=y=0$ và $x=y=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 28-07-2013 - 17:15

[bossulan239]

Đoan cuối sai rồi $3^b\equiv3\mod 9$ thì $b=2k+1$ chứ không phải là 1.

Sai bét rồi $3^{b}\equiv 3 (mod 9)$ khi và chỉ khi b=1 vì nếu b$\geq 2 \Rightarrow 3^{b}\vdots 9$con b=0 thì loại