Chủ đề này có 1 trả lời

[Lanaseafood]

Trong các tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và thể tích bằng 36, hãy xác định tứ diện sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

[25 minutes]

Trong các tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và thể tích bằng 36, hãy xác định tứ diện sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, ta sẽ không chứng minh lại $2$ điều sau đây

-$OH$ vuông góc với $(ABC)$

-$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$

Ta có $V=\frac{1}{3}.OH.S_{ABC}\Rightarrow OH.S_{ABC}=108$

Lại có $V=\frac{1}{3}.OB.S_{OAC}=\frac{1}{3}.OB.\frac{1}{2}.OA.OC\Rightarrow OA.OB.OC=216$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{(OA.OB.OC)^2}}=\frac{1}{12}$

                   $\Rightarrow OH\leqslant 2\sqrt{3}$

                   $\Rightarrow S_{ABC}\geqslant \frac{108}{2\sqrt{3}}=\frac{54}{\sqrt{3}}$

Đẳng thức xảy ra khi $OA=OB=OC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 31-07-2013 - 19:00