Chủ đề này có 3 trả lời

[stronger steps 99]

cho a,b,c đôi 1 khác nhau.CMR:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c-a)^{2}}\geq \frac{5}{2}$

[nguyencuong123]

đề có vấn đề không nhỉ, mình làm như sau:$VT=\sum \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2(a-b)^{2}}=\sum (\frac{1}{2}+\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}})\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 1$ vô lý vì $\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 3$   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 04-08-2013 - 20:19

[Ha Manh Huu]

đề có vấn đề không nhỉ, mình làm như sau:$VT=\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}=\sum \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2(a-b)^{2}}=\sum (1+\frac{(a+b)^{2}}{2(a-b)^{2}})\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^{2}}{2(a-b)^{2}}\geq \frac{-1}{2}$ (đúng vì VT>0 còn VP <0)  

ông sai rồi biến đổi có vấn đề

[Juliel]

cho a,b,c đôi 1 khác nhau.CMR:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c-a)^{2}}\geq \frac{5}{2}$

Trừ $3$ vào hai vế :

$$\sum \left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}} -1\right )\geq \frac{-1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{4ab}{(a-b)^{2}}\geq -1\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{4ab}{(a-b)^{2}}+1 \right )\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 2$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng

Thật vậy, áp dụng BĐT $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2(xý+yz+zx)$ và đẳng thức $\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

$$\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq -2(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b})=-2.(-1)=2$$