Chủ đề này có 2 trả lời

[Valar Morghulis]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(f(x))=f(x) + x, \forall x \in \mathbb{R}$

[namcpnh]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(f(x))=f(x) + x, \forall x \in \mathbb{R}$

 

Tình hình thì bài này vẫn chưa có cách giải cụ thể ( theo mình biết thế ).

 

Bạn có thể tham khảo 1 bài dễ hơn rất nhiều . Bài 7 VMO 2012 .

 

Đây là 1 bài giải tổng quát nhất ( mình đọc vẫn chưa hiểu ) . PCO

[Lyer]

Dễ dàng chứng minh được f đơn ánh và kết hợp với f liên tục suy ra f đơn điệu thực sự trên R.Thay x=0 suy ra f(f(0))=f(0)=>f(0)=0

1.Trường hợp f giảm.Cố định x ta xây dựng dãy sau: a₀=x,a_n=f(a_n-1) với n thuộc N^*.

Từ giả thiết lấy x=a_n,ta có a_n+2 -a_n+1 -a_n=0 Suy ra a_n=A$r_1^n$+B$r_2^n$ với r₁=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và r₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.Do $a_0$=x và $a_1$=f(x) nên ta có hệ sau A+B=x và A$r_1$+B$r_2$=f(x)

Suy ra $$(A;B)=(\frac{f(x)-r_2x}{r_1-r_2};\frac{r_1x-f(x)}{r_1-r_2})$$

Do đó $$a_n=\frac{f(x)-r_2x}{r_1-r_2}r_1^n+\frac{r_1x-f(x)}{r_1-r_2}r_2^n$$

Do f đơn điệu thật sự nên $\frac{a_{n+1}}{a_n}$=$\frac{f(a_n)-f(0)}{a_n-0}$ có dấu không đổi.Vì thế nếu nếu f(x)-$r_1$x khác 0 thì

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r_2>0$

Điều này mâu thuẫn vì từ đó suy ra $\frac{a_{n+1}}{a_n}>0$ với mọi n suy ra $\frac{a_1}{a_0}>0$ do đó $\frac{f(x)}{x}>0$với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ (Vô lí).Vậy $f(x)=r_1x=\frac{1-\sqrt5}{2}x$

2.Trường hợp 2(f tăng thật sự): Dễ dàng chứng minh f toàn ánh.Thậy vậy với a thuộc $\mathbb{R}$.Giả sử f(x)$\neq$a với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.Do f liên tục nên hoặc $f(x)>a$ với mọi x hoặc $f(x)<a$ với mọi x.

 +)f(x)>a.Khi đó $f(f(x))>f(a)>a$ $\Rightarrow$ $f(x)>a-2x$$\Rightarrow$$f(-n)>a+2n$ với mọi n thuộc$\mathbb{N}$Suy ra $0=f(0)>f(-n)>a+2n$(Vô lí).Tương tự trường hợp kia

_Vậy kết hợp với f đơn ánh suy ra f song ánh nên tồn tại ánh xạ ngược của f(x).Dễ thấy $f^{-1}(0)=0$Khi đó ta xây dựng dãy sau:

$$a_1=f(x), a_2=x, a_n=f_{-n}(x)=f^{-1}(f^{-1}.....(f^{-1}(x)))...)$$ (n chữ f).

_Trong giả thiết thay x bởi $f^{-1}(a_{n-1})$.ta được: $a_{n-2}$=$a_{n-1}$+$a_{n}$.

_Dùng sai phân ta suy ra: $$a_n=\frac{x-\gamma _2f(x)}{\gamma _1-\gamma _2}\gamma _1^n+\frac{\gamma _1f(x)-x}{\gamma _1-\gamma _2}\gamma _2^n với \gamma _1=\frac{-1-\sqrt5}{2}và \gamma _2=\frac{-1+\sqrt5}{2}$$

_Với $r_1$ và $r_2$ như trường hợp 1.Khi đó $\gamma _1r_1=1$ và $\gamma _2r_2=1$.

_Ta có: $f_{-n}(x)$=$f^{-1}(a_n)$ ( vì x=$f^{-1}(a_{n-1}$))=$a_{n+1}$=$\frac{x-\gamma _2f(x)}{\gamma _1-\gamma _2}r_1^{-n-1}+\frac{\gamma _1f(x)-x}{\gamma _1-\gamma _2}r_2^{-n-1}$

_Dễ dàng chứng minh được $f_{-n}(x)$ tăng

_Xét x>0khi đó f(x)>0,$f_{-n}(x)>0$ với mọi n .Cho nên:

$$\frac{x-\gamma _2f(x)}{\gamma _1-\gamma _2}r_1^{-n-1}+\frac{\gamma _1f(x)-x}{\gamma _1-\gamma _2}r_2^{-n-1}>0$$

Suy ra $$[\gamma _1f(x)-x]r_2^{-n-1}<[\gamma _2f(x)-x]r_1^{-n-1} $$ (2) 

Từ (2) Lấy n=2k ta được

$$(\frac{r_2}{r_1})^{-2k-1}<\frac{\gamma _2f(x)-x}{\gamma _1f(x)-x}  ( do \gamma _1f(x)-x<0;r_1^{-2k-1}<0)$$

Từ (2) lấy n=2k-1,ta được

$$(\frac{r_2}{r_1})^{2k}>\frac{\gamma _2f(x)-x}{\gamma _1f(x)-x}  (do \gamma _1f(x)-x<0;r_1^{2k}>0)$$

Cho k tiến tới vô cùng và sử dụng nguyên lí kẹp suy ra $\gamma _2f(x)-x=0$ Suy ra và kết hợp 2 trường hợp trên suy ra ĐPCM.( trong quá trình gõ Latex Có gì sai sót thì xin bỏ qua cho nha)

 

@namcpnh : nếu  em cho các tất cả các công thức toán , kể cả đơn giản vào $$ thì bài viết sẽ đẹp và dễ xem hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-08-2013 - 12:33