Chủ đề này có 4 trả lời

[henry0905]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

$f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$

 

[Lyer]

Do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ nên $b>0$

Bài này dựa vào cách xây dựng dãy số $u_1=x,u_2=f(u_1)=f(x),...,u_n=f(u_{n-1})$. Lấy $u_n=x$. Từ đề bài ta chuyển sang dãy số sau

$u_n+au_{n-1}-b(a+b)u_{n-2}$.Xét phương trình đặc trưng ta tìm ra nghiệm $\gamma =b$ và $\gamma = -(a+b)$.

Suy ra $u_n=A\cdot b^n+B\cdot (-a-b)^n$

Mặt khác ta có $u_{2n}>0$ ( do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$​)

 Suy ra $B> \frac{-Ab^{2n}}{(a+b)^{2n}}$

Tương tự  $u_{2n+1}$ ( do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$​)

Suy ra $B< \frac{Ab^{2n+1}}{(a+b)^{2n+1}}$

Dựa theo nguyên lí kẹp suy ra $B=0$ khi $n\rightarrow +\infty$.

Do đó $u_n=A\cdot b^n$ Ta có $u_1=x\Rightarrow A=\frac{x}{b}$ và $u_2=f(x)=A\cdot b^2=xb$ ( thử lại ta thấy thỏa) suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-08-2013 - 17:33

[bachhammer]

Bài này dựa vào cách xây dựng dãy số u₁=x,u₂=f(u₁)=f(x),...,u_n=f(f(......f(u_n-1) (n lần). Lấy u_n=x. Từ đề bài ta chuyển sang dãy số sau

u_n+2+au_n+1 -b(a+b)u_n=0.Xét phương trình đặc trưng ta tìm ra nghiệm $\gamma =b$ và$\gamma = -(a+b)$.

Suy ra u_n=Abⁿ+B(-a-b)ⁿ

Mặt khác ta có u_2n>0 ( do f đi từ R⁺đến R⁺​)

 Suy ra $B> \frac{-Ab^{2n}}{(a+b)^{2n}}$

Tương tự  u_2n+1>0 ( do f đi từ R⁺đến R⁺)

Suy ra $B< \frac{Ab^{2n+1}}{(a+b)^{2n+1}}$

Dựa theo nguyên lí kẹp suy ra B=0 khi n tiến đến $+\infty$

Do đó u_n=A.bⁿ Ta có u₁=x suy ra A=$\frac{x}{b}$ và u₂=f(x)=Ab²=xb ( thử lại ta thấy thỏa) suy ra ĐPCM

Yêu cầu chú gõ LATEX cho dễ nhìn...Bài giải thì đúng rồi!!!

[Idie9xx]

Bài này dựa vào cách xây dựng dãy số $u_1=x,u_2=f(u_1)=f(x),...,u_n=f(u_{n-1})$. Lấy $u_n=x$. Từ đề bài ta chuyển sang dãy số sau

$u_n+au_{n-1}-b(a+b)u_{n-2}$.Xét phương trình đặc trưng ta tìm ra nghiệm $\gamma =b$ và $\gamma = -(a+b)$.

Suy ra $u_n=A\cdot b^n+B\cdot (-a-b)^n$

Mặt khác ta có $u_{2n}>0$ ( do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$​)

 Suy ra $B> \frac{-Ab^{2n}}{(a+b)^{2n}}$

Tương tự  $u_{2n+1}$ ( do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$​)

Suy ra $B< \frac{Ab^{2n+1}}{(a+b)^{2n+1}}$

Dựa theo nguyên lí kẹp suy ra $B=0$ khi $n\rightarrow +\infty$

Do đó $u_n=A\cdot b^n$ Ta có $u_1=x\Rightarrow A=\frac{x}{b}$ và $u_2=f(x)=A\cdot b^2=xb$ ( thử lại ta thấy thỏa) suy ra ĐPCM

Do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ nên $b>0$

Giả sử $a+b<0$ thì $f(x)=-(a+b)x$ cũng thỏa

 

P/s: Sửa tạm trong cái Quote nhìn cho rõ

[namcpnh]

Do $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ nên $b>0$

Giả sử $a+b<0$ thì $f(x)=-(a+b)x$ cũng thỏa

 

P/s: Sửa tạm trong cái Quote nhìn cho rõ

 

Giả sử bài này là $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thì sao? Chẳng lẽ lại về cái bài giải bá đạo của Pco? Idie9xx suy nghĩ tìm hướng thử coi.