Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho tam giác đều $ABC$ có trọng tâm $G$, $M$ là $1$ điểm bất kì trên $BC$. Gọi $P,Q$ là chân đoạn thẳng vuông góc hạ từ $M$ tới $AB,AC$. Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $PQ$. Chứng minh khi $M$ thay đổi luôn có $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}$

[nguyencuong123]

Em mới lên 10 thôi, không biết có đúng không:

Ta có:Từ M vẽ các đường thẳng song song với AB cắt AC tại C' và song song với AC cắt AB ở B'.Ta có:$\underset{MP}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{MB}{\rightarrow}+\underset{MB'}{\rightarrow})$ và $\underset{MQ}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{MC}{\rightarrow}+\underset{MC'}{\rightarrow})\Rightarrow \underset{MQ}{\rightarrow}+\underset{MP}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{MC}{\rightarrow}+\underset{MB}{\rightarrow}+(\underset{MC'}{\rightarrow}+\underset{MB')}{\rightarrow})=\frac{1}{2}(\underset{MC}{\rightarrow}+\underset{MB}{\rightarrow}+\underset{MA}{\rightarrow})=\frac{1}{2}(3\underset{MO}{\rightarrow}+\underset{0A}{\rightarrow}+\underset{0B}{\rightarrow}+\underset{0C}{\rightarrow})=\frac{3}{2}\underset{MO}{\rightarrow}$ (Do OA+OB+OC =0 (định lý)  

[hieuvipntp]

Gọi $\large P,Q,R$ chân đường cao kẻ từ $\large M$ xuống $\large AB,AC,BC$

theo bổ đề ta có $\large \vec{MP}+\vec{MQ}+\vec{MR}=\frac{3}{2}\vec{MO}$ (tam giác $\large ABC$ đều nên trọng tâm trùng tâm đt ngoại tiếp)

mặt khác, $\large M\in BC$ nên $\large \vec{MR}=\vec{0}$

do đó ta có đ.p.c.m