1 bài mở rộng của thầy Quang Hùng trong GGTH lần 5
Cho tam giác $ABC$, đường tròn $(I)$ đi qua $B,C$ cắt CA,AB tại $N,M$ khác $B,C$.
Đặt $H = BN \cap CM$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AH$. Lấy $W$ bất kì trên $d$.
$WK,WL$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $WBM,WCN$.
Chứng minh $K,H,L$ thẳng hàng.
Một sự kết hợp đẹp giữa định lý Brocard và hàng điểm điều hòa.
1. Ký hiệu các điểm như hình vẽ, theo Định lý Brocard ta có $MN, BC$ và $d$ đồng quy.
2. Yêu cầu bài toán thực chất là chứng minh $\widehat{HXW}=90^0$ hay $AX.AW=AH.AJ.$
3. Chú ý $(PQBC)=-1$.
4. Ta có $PB.PC=PQ.PX=PJ.PI$ nên tứ giác $BJIC$ nội tiếp, suy ra $\widehat{BJC}=\widehat{BIC}=2 \widehat{BMH}$.
5. Lại có $JQ$ là phân giác của góc $BJC$ nên $\widehat{BJQ}=\widehat{BMH}$ hay tứ giác $BMHJ$ nội tiếp, đpcm.
Edited by tranquocluat_ht, 18-09-2013 - 21:23.