Chủ đề này có 2 trả lời

[elroja]

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=8$

 

CMR: 

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}} \geq 1$

 

P.S: Xin lỗi mod e post nhầm qua bên box THCS !

[nguyentrungphuc26041999]

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=8$

 

CMR: 

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}} \geq 1$

 

P.S: Xin lỗi mod e post nhầm qua bên box THCS !

biến đổi như sau

$\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}= \sum \frac{1}{\sqrt{\left ( 1+a \right )\left ( a^{2}-a+1 \right )}}\geq \sum \frac{2}{1+a+a^{2}-a+1}= \sum \frac{2}{a^{2}+2}$

ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{2+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

quy đồng rồi rút gon ta có

$8+2\left ( \sum a^{2} \right )\geq \frac{1}{2}\prod a^{2}$

đến đây ta chỉ cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 12$

hiển nhiên đúng theo bđt cauchy

OK

[thanhdotk14]

Cho $a,b,c> 0$ và $abc=8$

 

CMR: 

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}} \geq 1$

 

P.S: Xin lỗi mod e post nhầm qua bên box THCS !

Cách khác:

Đặt $\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\to \left(\frac{x^2}{2yz};\frac{y^2}{2zx};\frac{z^2}{2xy}\right)$

Khi đó ta có: $$\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^6+8y^3z^3}}$$

Tương tự, ta cũng có: $$\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}=\frac{y^3}{\sqrt{y^6+8zx}}, \frac{1}{\sqrt{1+c^3}}=\frac{z^3}{\sqrt{z^6+8xy}}$$

Khi đó. Đặt $(x^3; y^3; z^3)\to (m;n;p)$

Do đó, bđt cần chứng minh tương đướng với: $$\frac{m}{\sqrt{m^2+8np}}+\frac{n}{\sqrt{n^2+8pm}}+\frac{p}{\sqrt{p^2+8mn}}\ge 1$$

Đến đây, bạn có thể xem tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 09-08-2013 - 16:11