Chủ đề này có 9 trả lời

[Zaraki]

Bài 4. Cho tập hợp $A= \{ 1,2, \cdots , n \}$ với $n$ là số nguyên dương. Hỏi có bao nhiêu bộ ba các tập hợp $(X,Y,Z)$ có tính thứ tự thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) $X,Y,Z \subset A$.

(ii) $X \subset ((Y \cap Z) \cup (A \setminus Y)), \; Y \subset ((Z \cap X) \cup (A \setminus  Z))$ và $Z \subset ((X \cap Y) \cup (A \setminus X))$.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 11)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-08-2013 - 13:53

[LNH]

Bài 4. Cho tập hợp $A= \{ 1,2, \cdots , n \}$ với $n$ là số nguyên dương. Hỏi có bao nhiêu bộ ba các tập hợp $(X,Y,Z)$ có tính thứ tự thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) $X,Y,Z \subset A$.

(ii) $X \subset ((Y \cap Z) \cup (A \setminus Y)), \; Y \subset ((Z \cap X) \cup (A \setminus  Z))$ và $Z \subset ((X \cap Y) \cup (A \setminus X))$.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 11)

Nhận xét: Qua điều kiện 2 kết hợp với biểu diễn sơ đồ Venn dễ thấy $X\cap Y=Y\cap Z=Z\cap X=X\cap Y\cap Z$

Xét $\left | X\cap Y\cap Z \right |=k$

Có $C_{n}^{k}$ cách chọn $X \cap Y \cap Z$

Xét $n-k$ phần tử còn lại:

Mỗi phần tử sẽ có 4 cách chọn vào từng tập hợp

Vậy với $\left | X\cap Y\cap Z \right |=k$ thì có $C_{n}^{k}.4^{n-k}$ cách chọn tập hợp $X,Y,Z$

Theo quy tắc cộng thì có tất cả $\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}.4^{n-i}=5^{n}$ cách chọn bộ ba tập $\left ( X,Y,Z \right )$ thoả mãn yêu cầu đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 09-08-2013 - 16:27

[quocbaolqd11]

Nhận xét: Qua điều kiện 2 kết hợp với biểu diễn sơ đồ Venn dễ thấy $X\cap Y=Y\cap Z=Z\cap X=X\cap Y\cap Z$

Xét $\left | X\cap Y\cap Z \right |=k$

Có $C_{n}^{k}$ cách chọn $X \cap Y \cap Z$

Xét $n-k$ phần tử còn lại:

Mỗi phần tử sẽ có 4 cách chọn vào từng tập hợp

Vậy với $\left | X\cap Y\cap Z \right |=k$ thì có $C_{n}^{k}.4^{n-k}$ cách chọn tập hợp $X,Y,Z$

Theo quy tắc cộng thì có tất cả $\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}.4^{n-i}=5^{n}$ cách chọn bộ ba tập $\left ( X,Y,Z \right )$ thoả mãn yêu cầu đề bài

bài này có tính thứ tự nhé, cách làm của em là không tính thứ tự, điển hình là cách chọn $k$ cho $\left | X\cap Y\cap Z \right |=k$ hay phần biện luận mỗi phần tử có 4 cách phân phối vào từng tập hợp (cách phân phối hay chọn là 1 chuyện nhưng vị trí trong tập hợp lại là 1 vấn đề khác). Trong bài toán tính thứ tự thì tập $M= \left \{ 1,2,3\right. \left. \right \}$ hoàn toàn khác với $M= \left \{ 3,2,1\right. \left. \right \}$. Nếu $n=1$ thi chỉ có duy nhất 1 cách chọn thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocbaolqd11: 09-08-2013 - 21:44

[LNH]

bài này có tính thứ tự nhé, cách làm của em là không tính thứ tự, điển hình là cách chọn $k$ cho $\left | X\cap Y\cap Z \right |=k$ hay phần biện luận mỗi phần tử có 4 cách phân phối vào từng tập hợp (cách phân phối hay chọn là 1 chuyện nhưng vị trí trong tập hợp lại là 1 vấn đề khác). Trong bài toán tính thứ tự thì tập $M= \left \{ 1,2,3\right. \left. \right \}$ hoàn toàn khác với $M= \left \{ 3,2,1\right. \left. \right \}$. Nếu $n=1$ thi chỉ có duy nhất 1 cách chọn thôi.

Theo em nghĩ bài này chỉ tính thứ tự của bộ ba tập $X,Y,Z$(có nghĩa là $X,Y,Z$ khác với $Y,X,Z$) chứ không phải là tính thứ tự của mỗi phần tử trong từng tập đâu anh

Với lại nếu $n=1$ thì rõ ràng có 5 bộ mà anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 09-08-2013 - 21:59

[quocbaolqd11]

Theo em nghĩ bài này chỉ tính thứ tự của bộ ba tập $X,Y,Z$(có nghĩa là $X,Y,Z$ khác với $Y,X,Z$) chứ không phải là tính thứ tự của mỗi phần tử trong từng tập đâu anh

Với lại nếu $n=1$ thì rõ ràng có 5 bộ mà anh

với $n=1$ thì chỉ có duy nhất 1 bộ đó là: $A= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$ $B= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$ và $C= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$.

[LNH]

với $n=1$ thì chỉ có duy nhất 1 bộ đó là: $A= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$ $B= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$ và $C= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$.

$A=\O ,B=\O,C=\O$;

$A=\left \{ 1 \right \} ,B=\O,C=\O$;

$A=\O ,B=\left \{ 1 \right \},C=\O$;

$A=\O ,B=\O,C=\left \{ 1 \right \}$,

$A= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$$B= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$ và $C= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 09-08-2013 - 22:14

[quocbaolqd11]

$A=\O ,B=\O,C=\O$;

$A=\left \{ 1 \right \} ,B=\O,C=\O$;

$A=\O ,B=\left \{ 1 \right \},C=\O$;

$A=\O ,B=\O,C=\left \{ 1 \right \}$,

$A= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$$B= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$ và $C= \left \{ 1 \right. \left. \right \}$

Oạch, nhầm dấu tập con thành dấu =. Xin lỗi em nhé.

[Lyer]

Dựa vào biểu đồ Ven và giả thiết dễ dàng thấy X chỉ có thể ở 5 vị trí đó là 1,4,5,6,7 Suy ra có $5^n$ cách chọn @@.Ko biết đúng ko?

File gửi kèm

•  untitled.bmp   1.65MB   129 Số lần tải

[LNH]

Dựa vào biểu đồ Ven và giả thiết dễ dàng thấy X chỉ có thể ở 5 vị trí đó là 1,4,5,6,7 Suy ra có $5^n$ cách chọn @@.Ko biết đúng ko?

Anh có thể giải thích chỗ này được không?

Làm sao có thể biết X chỉ nằm trong vị trí 1,4,5,6,7. Điều này có gì liên quan đến bài toán đã cho?

[bachhammer]

Anh có thể giải thích chỗ này được không?

Làm sao có thể biết X chỉ nằm trong vị trí 1,4,5,6,7. Điều này có gì liên quan đến bài toán đã cho?

Thằng Toàn bạn a nói hơi thiếu một tí, phải là vì các phần tử của tập X phải thoả các tính chất trên nên phần tử ấy phải thuộc các miền (thực sự tập 5 và 6 là một, đặt là 5) 1,4,5,7 và cả tập không chứa X, Y, Z. Cách của e thì đúng rồi (mặc dù a chưa hiểu kĩ lắm)...