Chủ đề này có 3 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho a,b,c >0 , a+b+c=1.CMR

                     $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{27}{8}$

                

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 10-08-2013 - 18:30

[25 minutes]

Cho a,b,c >0 , a+b+c=1.CMR

                     $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{27}{8}$

Tham khảo ở đây

http://diendantoanho...qslant-frac278/

[Simpson Joe Donald]

Quy đồng rút gọn ta được:

$$\text{BDT}\iff 3+19abc\ge 11(ab+bc+ca)+27a^2b^2c^2$$

Theo $AM-GM$ ta có:

$$1=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\implies \dfrac{1}{27}\ge abc \implies abc\ge 27a^2b^2c^2$$

Áp dụng bất đảng thức với số dương quen thuộc:

$$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\le xyz$$

Thay điều kiện $x+y+z=1$ ta có:

$$9xyz\ge 4(xy+yz+zx)-1$$

Vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là:

$$3+2[4(ab+bc+ca)-1]\ge 11(ab+bc+ca) \\ \iff 1\ge 3(ab+bc+ca) \\ \iff (a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)$$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bđt được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 10-08-2013 - 18:25

[KietLW9]

Đây nha: https://diendantoanh...zxleq-dfrac278/