Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyễn Hoàng Hảo]

CHO a+b+c=3

CMR 

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1} \geq \frac{3}{2}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bài viết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 10-08-2013 - 23:04

[Nguyen Duc Thuan]

CHO a+b+c=3

CMR 

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1} \geq \frac{3}{2}$

Sử dụng AM-GM ngược ta có:

$\frac{a^2}{b^2+1}=a^2-\frac{a^2b^2}{b^2+1}\geq a^2-\frac{a^2b}{2}$

Suy ra $\sum \frac{a^2}{b^2+1}\geq \sum a^2-\sum \frac{a^2b}{2}$

Ta đi Cm: $\sum a^2b\leq \sum a^2$

Thật vậy, $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=\sum a^3+\sum b^2a+\sum a^2b$

$\geq 3\sum a^2b$  (AM-GM) (Hoàn tác)

Nên  $\sum \frac{a^2}{b^2+1} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}\geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" khi $a=b=c=1$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 10-08-2013 - 21:18