1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của
P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$
4) Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Tìm min của
A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$
Bài 1: Áp dụng nguyên lí Dirichle ta có thể giả sử $2$ trong $3$ số $a-1,b-1,c-1$ cùng dấu
Giả sử đó là $a-1,b-1$$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geqslant 0$
Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành
$(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 2 : Từ giả thiết ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2$
Xét biểu thức
$\frac{x-2}{y^2}+\frac{y-2}{z^2}+\frac{z-2}{x^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Đến đây áp dụng AM-GM ta có
$\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant \frac{2(x-1)}{xz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2$
Áp dụng tiết AM-GM ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\geqslant \sqrt{3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})}-2=\sqrt{3}-2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$
Bài 4 : Ta có $\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a(a+b^2)-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\geqslant a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có
$\sum \frac{a^2}{a+b^2}\geqslant 3-\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}}{2}$
Lại có $b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leqslant 3$
$\Rightarrow \frac{a^2}{a+b^2}\geqslant \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$