Cho hàm số: $y=x^{3}-4x-1 (C)$. Tìm những cặp điểm nguyên trên $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ và không nằm trên đường thẳng đó.
Cho hàm số: $y=x^{3}-4x-1 (C)$.
#1
Đã gửi 11-08-2013 - 19:04
#2
Đã gửi 11-08-2013 - 21:34
- nucnt772 yêu thích
#3
Đã gửi 13-08-2013 - 17:55
cách khác:gọi A, B là cặp điểm cần tìm có dạng: $A(x;x^{3}-4x-1)$ và $B(y;y^{3}-4y-1)$.
N là trung điểm của AB $\Rightarrow N(\frac{x+y}{2};\frac{x^{3}+y^{3}-4(x+y)-2}{2})$.Do N thuộc đường thẳng $y=x$ nên:
$x+y=x^{3}+y^{3}-4(x+y)-2\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-5(x+y)-2=0$
Ta có hệ:$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-5(x+y)-2=0 & \\ y=x^{3}-4x-1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=x^{3}-4x-1& \\ x=y^{3}-4y-1& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x-y=-(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)+4(x-y)$
$\Leftrightarrow x=y(loaidoA\equiv B)\vee x^{2}+y^{2}+xy=3(1)$
Thay $y=x^{3}-4x-1$ vào (1), ta có:$(1)\Leftrightarrow x^{6}-7x^{4}-2x^{3}+13x^{2}+7x-2=0$.Phương trình này chỉ có nghiệm nguyên là x=-1,x=2(tính theo pp nhẩm nghiệm).
Cuối cùng thay kết quả vào (1) ta có dc cặp điểm A,B như trên.
- nucnt772 yêu thích
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh