2 replies to this topic

[nucnt772]

Cho hàm số: $y=x^{3}-4x-1 (C)$. Tìm những cặp điểm nguyên trên $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ và không nằm trên đường thẳng đó.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

- Gọi $A(a; a^3 - 4a - 1)$; $B(b; b^3 - 4b - 1)$ là những điểm thỏa mãn đề bài. Khi đó: $a, b \in Z$ và $a \neq b$.

 

- Hệ số góc của đường thẳng AB: 

$k_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{b^3 - a^3 - 4(b - a)}{b - a} = b^2 + ab + a^2 - 4$

 

- Để A và B đối xứng qua đường thẳng d: $y = x$ thì d phải là trung trực của đoạn thẳng AB. Tức là: AB $\perp$ d và A, B cách đều d. Khi đó:

$\left\{\begin{matrix}k_{AB}.k_d = -1\\d_{A; d} = d_{B; d}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2 + ab + b^2 - 4 = -1\\|a - (a^3 - 4a - 1)| = |b - (b^3 - 4b - 1)|\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2 + ab + b^2 = 3\\|a^3 - 5a - 1| = |b^3 - 5b - 1|\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2 + ab + b^2 = 3\\\left[\begin{matrix}a^3 - 5a - 1 = b^3 - 5b - 1\\a^3 - 5a -1 = -b^3 + 5b + 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2 + ab + b^2 = 3\\\left[\begin{matrix}(a - b)(a^2 + ab + b^2 - 5) = 0\\a^3 + b^3 - 5(a + b) - 2 = 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2 + ab + b^2 = 3\\\left[\begin{matrix}a = b\\a^2 + ab + b^2 = 5\\a^3 + b^3 - 5(a + b) - 2 = 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^2 + ab + b^2 = 3\\a^3 + b^3 - 5(a + b) - 2 = 0\end{matrix}\right.$

 

Đặt $S = a + b, P = ab \, (S^2 \geq 4P)$, ta được: 

$\left\{\begin{matrix}S^2 - P = 3\\S^3 - 3PS - 5S - 2 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}P = S^2 - 3\\S^3 - 2S + 1 = 0\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}P = S^2 - 3\\(S - 1)(S^2 + S - 1 = 0) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S = 1\\S = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

 

Do $a, b \in Z$ nên $S \in Z \Rightarrow S = 1 \Rightarrow P = -2 \Rightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a = 2\\b = -1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a = -1\\b =2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

 

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy 2 điểm cần tìm là A(-1; 2) và B(2; -1)

[Tran Hoai Nghia]

cách khác:gọi A, B là cặp điểm cần tìm có dạng: $A(x;x^{3}-4x-1)$ và $B(y;y^{3}-4y-1)$.

N là trung điểm của AB $\Rightarrow N(\frac{x+y}{2};\frac{x^{3}+y^{3}-4(x+y)-2}{2})$.Do N thuộc đường thẳng $y=x$ nên:

$x+y=x^{3}+y^{3}-4(x+y)-2\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-5(x+y)-2=0$

Ta có hệ:$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-5(x+y)-2=0 & \\ y=x^{3}-4x-1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=x^{3}-4x-1& \\ x=y^{3}-4y-1& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x-y=-(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)+4(x-y)$

$\Leftrightarrow x=y(loaidoA\equiv B)\vee x^{2}+y^{2}+xy=3(1)$

Thay $y=x^{3}-4x-1$ vào (1), ta có:$(1)\Leftrightarrow x^{6}-7x^{4}-2x^{3}+13x^{2}+7x-2=0$.Phương trình này chỉ có nghiệm nguyên là x=-1,x=2(tính theo pp nhẩm nghiệm).

Cuối cùng thay kết quả vào (1) ta có dc cặp điểm A,B như trên.