Chủ đề này có 2 trả lời

[nucnt772]

Cho hàm số: $y=\frac{x-2}{x+2}$

 

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=x+3$ làm trục đối xứng.

b) Xác định điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

a) Xét đường thẳng $y = -x + k$ $\perp$ $d: y = x + 3$

Giao điểm của hai đường này là: $I\left ( \dfrac{k - 3}{2}; \dfrac{k + 3}{2}\right)$

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $(\Delta)$:

$-x + k = \dfrac{x - 2}{x + 2} \Leftrightarrow x^2 + (3 - k)x - 2 - 2k = 0$

 

Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2 \neq -2$.

Vì vậy, (C) và $(\Delta)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A$(x_1; y_1)$ và B$(x_2; y_2)$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = k - 3 = 2x_I \\y_1 + y_2 = - (x_1 + x_2) + 2k = k + 3 = 2y_I\end{matrix}\right.$

 

Vậy I là trung điểm AB. Điều này chứng tỏ rằng, đường thẳng $y = x + 3$ là trục đối xứng của (C).

 

b) Gọi M$\left ( x_o; \dfrac{x_o - 2}{x_o + 2}\right )$ là một điểm bất kỳ thuộc (C).

Khi đó: $P = d_{(M; Ox)} + d_{(M; Oy)} = |x_o| + \left | \dfrac{x_o - 2}{x_o + 2}\right |$

 

$= |x_o| + \left | \dfrac{4}{x_o + 2} - 1\right | \geq \left | x_o + \dfrac{4}{x_o + 2} - 1\right | $

 

- Nếu $x_o < -2$ thì $\left | x_o + \dfrac{4}{x_o + 2} - 1\right | > |- 2 - 1| = 3$

 

- Nếu $x_o > - 2 \Leftrightarrow x_o + 2 > 0$ thì: 

$\left | x_o + \dfrac{4}{x_o + 2} - 1\right | = \left | x_o + 2 + \dfrac{4}{x_o + 2} - 3\right | \geq |4 - 3| = 1$

 

Vậy $Min_P = 1$ khi $\left\{\begin{matrix}x_o.\left ( \dfrac{4}{x_o + 2} - 1\right ) \geq 0\\x_o + 2 = \dfrac{4}{x_o + 2}\\x_o > -2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x_o = 0$

 

Khi đó: M $(0; -1)$

[SOYA264]

Cho hàm số: $y=\frac{x-2}{x+2}$

 

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=x+3$ làm trục đối xứng.

b) Xác định điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất.

 

Cách khác cho câu b)

 

Gọi $d_M$ là tổng khoảng cách từ M đên 2 trục tọa độ.

 

-Tồn tại $M \in Ox$  $M(2;0)$ $\Rightarrow d_M=\left | 2 \right |+0=2$

 

-Tồn tại $M \in Oy$ $M(0;-1)$ $\Rightarrow d_M=\left | -1 \right |+0=1< 2$

 

-Xét những điểm $M$ có hoành độ $\left | x \right |>2$ $\Rightarrow d_M=\left | x \right |+\left | y \right |> 2$

 

-Xét những điểm $M$ có hoành độ $\left | x \right |<2$. Lại có 2 TH:

 

+$-2<x<0 \Rightarrow y> -1  \Rightarrow d_M=\left | x \right |+\left | y \right |> 1$

 

+$0<x<2$ Khi đó: $d_M=x-1+\frac{4}{x+2}$

                             

                            $d'_M=1-\frac{4}{(x+2)^2}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=-4 & \end{bmatrix}$

 

Lập bảng biến thiên, thấy $d_M$ đồng biến trên $(0;2)$$\Rightarrow d_M> d_M(0)=1$

 

Vậy $mind_M$=1. Khi $M(0.-1)$

 

Vậy điểm M cần tìm là $M(0.-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 17-08-2013 - 08:08