1. Nghịch lý Zeno
Nghịch lý Zeno được phát biểu như sau: “Chuyển động là bất khả”. Giả sử chuyển động khả dĩ, như vậy tất sẽ tồn tại 2 vị trí A và B sao cho vật chuyển động sẽ đi từ A đến B (không mất tính ‘tổng quát’ có thể giả sử vật chuyển động là một điểm).
Chứng minh: Giữa 2 điểm A và B tồn tại một điểm C nằm giữa A và B (theo tiên đề liên tục, Russell gọi là tính Compact của không gian). Giữa B và C lại tồn tại 1 điểm D nằm giữa B và C, .... Điểm chuyển động để đi đến B phải lần lượt đi đến đến C, D. ..., tuy nhiên nó không bao giờ vươn được đến điểm B (vì luôn tồn tại một điểm ‘nằm trước’ B mà nó phải đi đến). Do đó, chuyển động là bất khả.
Nghịch lý Zeno chỉ bị hóa giải sau khi các nhà toán học Đức làm rõ các khái niệm Vô cực (Cantor) và liên tục/giới hạn (Dedekind).
2. Nghịch lý Russel
Một phần của nghịch lý, được khám phá bởi Bertrand Russell vào năm 1901.
Giả sử tập S là “tập hợp tất cả các tập hợp không chứa chính nó”. Một cách hình thức: A là một phần tử của tập S nếu và chỉ nếu A không là phần tử của chính A.
Nếu S chứa chính nó thì theo định nghĩa của S, tập S không phải là một phần tử của S. Nếu S không chứa chính nó thì cũng do định nghĩa của S chính S lại là một phần tử của S. Các mệnh đề “S là một phần tử của S” và “S không là phần tử của S” cả hai không thể đúng, đó chính là mâu thuẫn.
Nghịch lý này thúc đẩy Russell phát triển lý thuyết kiểu và Ernst Zermelo phát triển lý thuyết tập hợp tiên đề ngày nay trở thành lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel.
3. Nghịch lý Monty Hall
Một số ví dụ về sai lầm của trực giác của chúng ta có ý nghĩa thiết thực hơn nhiều. Tại châu Âu, từng thịnh hành trò chơi truyền hình mang tên “Dốc sức”, trong đó ở phần kết thúc, người chơi được chỉ một trong ba ô cửa kín mà phía sau một trong ba cửa đó có để phần thưởng chính. (Tương tự như trò chơi “Ô cửa” của Đài Truyền hình Việt Nam).
Sau khi người chơi chọn một trong ba ô cửa, người dẫn chương trình mở một trong hai ô cửa còn lại mà sau ô cửa đó không có phần thưởng (Điều này người dẫn chương trình đã biết trước). Tiếp theo, người dẫn chương trình cho phép người chơi có thể thay đổi việc chọn ô cửa. Phần lớn người chơi không thay đổi ô cửa đã chọn lúc ban đầu bởi vì họ nghĩ rằng xác suất để có phần thưởng sau ô cửa là đúng 50% (lý do là hai ô cửa vẫn chưa được mở). Do vậy, việc đổi cửa hay không đổi cửa là không có ý nghĩa gì.
Tuy nhiên, từ phương diện toán xác suất, thì thay đổi ô cửa lại có lợi hơn. Khả năng để phần thưởng chính nằm sau ô cửa đã chọn lần đầu chỉ là khoảng 33,3% (không phải là 50%). Ngược lại xác suất nhận được phần thưởng sau khi đổi ô cửa là 66,6%. Điều này có vẻ như mâu thuẫn nhưng thật ra nó có cơ sở toán học. Đó là nghịch lý toán học có tên gọi là nghịch lý “Monty Hall”.
Do không biết về nghịch lý “Monty Hall” nên trong nhiều trường hợp người chơi để vuột mất phần thưởng chính.
