1 reply to this topic

[hihi2zz]

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}+m}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+m}=4\\ \frac{2}{x+y}+\frac{1}{xy}=1 \end{matrix}\right.$

[Thanh Huynh]

Đặt

$u=x-\frac{1}{x}$

$v=y-\frac{1}{y}$

Ta có : u+v = $\left ( x+y \right )\left ( 1-\frac{1}{xy} \right )=2$

Từ phương trình đầu của hệ, ta có :

$\sqrt{u^{2}+m+2}+\sqrt{v^{2}+m+2}=4$

<=>$\sqrt{u^{2}+n}+\sqrt{\left ( 2-u \right )^{2}+n}=4$ với n = m+2

Thực hiện chuyển vế và biến đổi tương đương, ta có :

$-\frac{3}{4}u^{2}+\frac{3}{2}u+\frac{9}{4}=n$

<=>$-\frac{3}{4}u^{2}+\frac{3}{2}u+\frac{1}{4}=m$

<=>$1-\frac{3}{4}\left ( u-1 \right )^{2}=m \leq 1$

Vậy $m\leq 1$