Chủ đề này có 1 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc $\geq$ 8.CMR

$\sum \frac{(a-1)^{2}}{a^{2}+2}\geq \frac{1}{2}$

 

[Dung Dang Do]

$\sum \frac{(a-1)^2}{a^2+2}\ge 2$

Biến đổi đưa về chứng minh

$ \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\ge \frac{1}{2}$

Vì $abc\ge 8$ nên tồn tại $x,y,z$ sao cho $a=\frac{x+y}{z};b={y+z}{x};c={x+z}{y}$

Hay chứng minh

$$\frac{1}{\frac{(x+y)^2}{z^2}+2}+\frac{1}{\frac{(z+y)^2}{x^2}+2}+\frac{1}{\frac{(x+z)^2}{y^2}+2}\ge \frac{1}{2}$$

Suy ra

$$\frac{z^2}{(x+y)^2+2z^2}+\frac{x^2}{(z+y)^2+2x^2}+\frac{y^2}{(x+z)^2+2y^2}\ge\frac{1}{2}$$

Lại có $$\sum \frac{x^2}{(z+y)^2+2x^2} \ge\frac{x^2}{2(x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{2(x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{2(x^2+y^2+z^2)}\ge \frac{1}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 16-08-2013 - 21:05