Chủ đề này có 4 trả lời

[nhox sock tn]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+xz=6$. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

[HungHuynh2508]

Từ $x^{2}+1\geq 2x$

$y^{2}+1\geq 2y$

$z^{2}+1\geq 2z$

$2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+xz)$

Cộng các BĐT trên ta có :

$3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+xz)$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$ (ĐPCM)

[banhgaongonngon]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+xz=6$. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

 

$3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+3 =(x^{2}+1)+(y^{2}+1)+(z^{2}+1)+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2x+2y+2z+2xy+2yz+2zx=12 $

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

[Vo Sy Nguyen]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: $x+y+z+xy+yz+xz=6$. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

 

Đây là bài cuối trong Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN Hà Nội năm học 2003-2004

[Dung Dang Do]

Cũng có thể có cách như sau, Từ giả thiết suy ra

$$(x+y+z)^2+3(x+y+z)-18 \ge 0\iff (t+6)(t-3)\ge 0 \to t\ge 3 (t=x+y+z)$$

$$\bullet x^2+y^2+z^2\ge \frac{t^2}{3}=3$$