4 replies to this topic

[PollkimCB]

a) Cho x,y,x >0 ; x+y+z=1

CM : $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2x^{2}+xz+2z^{2}}$ $\geq \sqrt{5}$

b) Cho x,y,z $\geq$ 0; x+y+z=1.

CMR : 4(1-x)(1-y)(1-z)$\leq$ x+y+2z

Edited by PollkimCB, 15-08-2013 - 13:33.

[Simpson Joe Donald]

Bổ đề: Với mọi $a;b>0$ ta luôn có: 

$$\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}(a+b)}{2}$$

Chứng minh:

$$BDT\iff 2a^2+ab+2b^2\ge \dfrac{5(a+b)^2}{4}$$

$$\iff (a-b)^2\ge 0$$

BDT này  luôn đúng với mọi $a;b$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Áp dụng bổ đề trên ta được:

$$\sum \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\sum \dfrac{\sqrt{5}(x+y)}{2}$$

$$\iff \sum \sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}.2\sum x=\sqrt{5}$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.

 

[pcfamily]

 

b) Cho x,y,z $\geq$ 0; x+y+z=1.

CMR : 4(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$ a+b+2c

Đã có ở đây: http://diendantoanho...lant41-a1-b1-c/

[snowwhite]

$Vt = \sum \sqrt{(\sqrt{2}x+\frac{1}{2\sqrt{2}}y)^2+(\frac{\sqrt{30}}{4}y)^2} \geq \sqrt{[\sqrt{2}(x+y+z)+\frac{1}{2\sqrt{2}}(x+y+z)]^2+[\frac{\sqrt{30}}{4}(x+y+z)]^2}=\sqrt{5}$

 

 

[bachhammer]

a) Cho x,y,x >0 ; x+y+z=1

CM : $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2x^{2}+xz+2z^{2}}$ $\geq \sqrt{5}$

b) Cho x,y,z $\geq$ 0; x+y+z=1.

CMR : 4(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$ a+b+2c

Sao từ x chuyển thành a vậy bạn?