Chủ đề này có 2 trả lời

[tranphuonganh97]

Cho a,b,c là các số thực dương. 

Tìm min $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3$

[snowwhite]

$(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8} +\frac{1}{8} \geq \frac{3a}{4(a+b)}$

$\Rightarrow (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3a}{4(a+b)}-\frac{1}{4}$

Tương tự :

$(\frac{b}{b+c})^3 \geq \frac{3b}{4(b+c)}-\frac{1}{4}$

$(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3c}{4(c+a)}-\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \sum (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}.\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$

[hung183461]

Cho a,b,c là các số thực dương. 

Tìm min $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3$

 

 

 

$(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8} +\frac{1}{8} \geq \frac{3a}{4(a+b)}$

$\Rightarrow (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3a}{4(a+b)}-\frac{1}{4}$

Tương tự :

$(\frac{b}{b+c})^3 \geq \frac{3b}{4(b+c)}-\frac{1}{4}$

$(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3c}{4(c+a)}-\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \sum (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}.\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$

 

 

Hình như bđt bạn sử dụng không đúng với $a=5 ; b=2 ; c = 3 $

 

Dự đoán GTNN của nó là $\frac{3}{8}$

 

Đặt $\frac{b}{a} =x , \frac{c}{b}=y , \frac{a}{c}=z$ . suy ra $xyz=1$ . 

 

Bđt cần chứng minh trở thành :

 

$\frac{1}{(1+x)^3} + \frac{1}{(1+y)^3} + \frac{1}{(1+z)^3} \geq \frac{3}{8}$

 

Theo Bđt $AM-GM$ ta có : 

 

$\frac{1}{(1+x)^3} + \frac{1}{(1+x)^3} + \frac{1}{8} \geq 3\sqrt{\frac{1}{8(1+x)^6}} = \frac{3}{2(1+x)^2}$

 

$\frac{1}{(1+y)^3} + \frac{1}{(1+y)^3} + \frac{1}{8} \geq 3\sqrt{\frac{1}{8(1+y)^6}} = \frac{3}{2(1+y)^2}$

 

$\frac{1}{(1+z)^3} + \frac{1}{(1+z)^3} + \frac{1}{8} \geq 3\sqrt{\frac{1}{8(1+z)^6}} = \frac{3}{2(1+z)^2}$

 

Ta cần chứng minh : 

$\frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{(1+y)^2} + \frac{1}{(1+z)^2} \geq \frac{3}{4}$

 

Dễ dàng chứng minh được : $\frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy}$

 

Suy ra :  $VT \geq \frac{1}{1+xy} + \frac{1}{(1+z)^2} = \frac{z}{z+1} + \frac{1}{(1+z)^2} = \frac{z^2+z+1}{z^2 + 2z +1}$

 

Giả sử z= max {x;y;z} ta đặt  $f(z) = \frac{z^2 +z+1}{z^2 + 2z +1}$

 

Ta có : $f'(z) = \frac{z^2 -1 }{(z +1)^2} \geq 0$ với $z \geq 1$ 

 

Suy ra $f(z) \geq f(1) = \frac{3}{4}$

 

Bđt đã được chứng minh . Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung183461: 15-08-2013 - 09:18