Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Cho dãy số $a_{n}$ thoả mãn $a_{n+1}\geq \frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{3}a_{n-1}$, trong đó n là số nguyên dương tuỳ ý. Biết $a_{n}\leq \alpha ,\forall n\in \mathbb{N}^{*},\alpha \in \mathbb{R}$. Hỏi dãy số $a_{n}$ có giới hạn hữu hạn hay ko?

 

[Lyer]

Ta có $$a_{n+1}+\frac{1}{3}a_n\geq a_n+\frac{1}{3}a_{n-1} (1)$$

Xét dãy $(y_n)_{n=1}^{n=+\infty}, y_{n}= a_{n+1}+\frac{1}{3}a_{n}$Từ (1) ta có $$y_{n}\geq y_{n-1}$$ Mặt khác do $a_n \leq \alpha$ nên $$y_n \leq \alpha +\frac{\alpha }{3 }=\frac{4\alpha }{3}$$ Suy ra dãy $y_n$ hội tụ. Giả sử $\lim y_n=b$ đặt $c=\frac{3b}{4}$ Ta chứng minh $lim a_n=c$. Do dãy $y_n$ hội tụ nên với mọi $\varepsilon >0$ tồn tại $n_0$ thuộc $\mathbb{N}$sao cho với mọi $n \geq n_0$, ta có: $$\left | y_n-b \right |< \frac{\varepsilon }{3}$$$$\Leftrightarrow \left | a_n+\frac{a_{n-1}}{3}-\frac{4c}{3}\right |<\frac{\epsilon }{3}$$$$\Leftrightarrow \frac{\epsilon }{3}> \left | (a_{n+1}-c)+\frac{1}{3}(a_{n}-c)\right |> \left | a_{n+1}-c \right |-\frac{1}{3}\left | a_{n}-c \right |$$ Suy ra $$\left | a_{n+1}-c \right |<\frac{1}{3}\left | a_n-c \right |+\frac{\varepsilon }{3}(2)$$

Trong (2) lần lượt lấy $n=n_0;n_0+1;n_0+2;..... $ ta được

$$\left | a_{n_0+1} -c\right |<\frac{1}{3}\left | a_{n_0}-c \right |+\frac{\varepsilon }{3}$$

 

$$\left | a_{n_0+2} -c\right |<\frac{1}{3}\left | a_{n_0+1}-c \right |+\frac{\varepsilon }{3}<\frac{1}{3^2}\left | a_{n_0}-c \right |+\frac{\varepsilon }{3}(\frac{1}{3}+1)$$

$$...........................................$$

$$\left | a_{n_0+k} -c\right | < \frac{1}{3^k}\left | a_{n_0} -c\right |+\frac{\varepsilon }{3}(\frac{1}{3^{k-1}}+\frac{1}{3^{k-2}}+...+1) (3)$$

Từ (3) ta có $$ \left | a_{n_0+k} -c\right |< \frac{1}{3^k}\left | a_{n_0} -c\right |+\frac{\varepsilon }{3}(\frac{1-\frac{1}{3^{k}}}{1-\frac{1}{3}})$$

$$\Leftrightarrow \left | a_{n_0+k} -c\right |< \frac{1}{3^k}\left | a_{n_0} -c\right |+\frac{\varepsilon }{2}(1-\frac{1}{3^{k}})< \frac{1}{3^k}\left | a_{n_0} -c\right |+\frac{\epsilon }{2}$$

Mà $\frac{1}{3^{k}}\left | a_{n_0}-c \right |<\frac{\epsilon }{2}$ khi k đủ lớn . Do đó khi k đủ lớn ta có

$$\left | a_{n_0+k}-c \right |<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon $$

Vậy khi k đủ lớn nói cách khác với n đủ lớn ta có dãy $(a_n)_{n=1}^{n=+\infty}$ hội tụ hay nói cách khác nó có giới hạn hữu hạn

Bài này có thể xét thêm dãy phụ đây chỉ là 1 cách thôi !! Bài này tựa tựa đề HSG Quốc gia 1988. Có gì sai sót góp ý dùm nhé