Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho các số thực a,b,c phân biệt . CMR

$$\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}\ge \frac{9}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 15-08-2013 - 17:13

[25 minutes]

Cho các số thực a,b,c phân biệt . CMR

$$\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}\ge \frac{9}{4}$$

Với $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a+b}{a-b}\\ y=\frac{b+c}{b-c} \\z=\frac{c+a}{c-a} \end{matrix}\right.$ thì ta có $xy+yz+zx=-1$

Ta có $(x+y+z)^2\geqslant 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geqslant 0$

Sử dụng $xy+yz+zx=-1$, ta có $x^2+y^2+z^2 \geqslant 2$

Hay $\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geqslant 2$

$\Rightarrow \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}-1+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}-1+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}-1\geqslant -1$

$\Rightarrow \frac{ab}{(a-b)^2}+\frac{bc}{(b-c)^2}+\frac{ca}{(c-a)^2}\geqslant \frac{-1}{4}$

$\Rightarrow \frac{3ab}{(a-b)^2}+\frac{3bc}{(b-c)^2}+\frac{3ca}{(c-a)^2}\geqslant \frac{-3}{4}$

$\Rightarrow \frac{3ab}{(a-b)^2}+1+\frac{3bc}{(b-c)^2}+1+\frac{3ca}{(c-a)^2}+1\geqslant \frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2+bc+c^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2+ca+a^2}{(c-a)^2}\geqslant \frac{9}{4}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=0\\b+c=0 \end{matrix}\right.$ và hoán vị