Chủ đề này có 1 trả lời

[trauvang97]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện $x+y=\frac{3}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$P=\frac{x^3+y^3}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}$

[ongngua97]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện $x+y=\frac{3}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$P=\frac{x^3+y^3}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}$

Dễ dàng biến đổi được P thành:

 

$P=\frac{3(48(x^{2}+y^{2})-9)}{128(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}})}$

 

Ta có: $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{9}{32}$

 

            $x^{2}+y^{2}=x^{2}+(\frac{3}{4}-x)^{2}\leq \frac{9}{16}\Leftrightarrow x(x-\frac{3}{4})\leq 0$ (luôn đúng)

 

            Do đó $\frac{9}{32}\leq x^{2}+y^{2}\leq \frac{9}{16}$

 

*) Ta có $P\geq \frac{3(48(x^{2}+y^{2})-9)}{128\sqrt{2(x^{2}+y^{2}+2)}}=f(t)$,  $\frac{9}{32}\leq t\leq \frac{9}{16}$

 

  $f'(t)=\frac{3(48t+201)}{256\sqrt{2}(t+2)\sqrt{t+2}}> 0$

 

  Do đó $f(t)\geq f(\frac{9}{32})=\sqrt{\frac{729}{299008}}$

 

  Vậy $MIN (P)$ =$\sqrt{\frac{729}{299008}}$ khi $x=y=\frac{3}{8}$

 

*) Để tìm MAX, ta có đánh giá sau: 

 

  Với 2 số không âm a,b ta luôn có $\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\geq 1+\sqrt{a+b+1}$

 

thậy vậy, bình phương 2 vế, khai triển, BĐT $\Leftrightarrow ab\geq 0$ (luôn đúng)

 

Do đó $P\leq \frac{3(48(x^{2}+y^{2})-9)}{128(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}+1})}=f(t)$,  $\frac{9}{32}\leq t\leq \frac{9}{16}$

 

 

Ta có $f'(t)=\frac{3(96\sqrt{t+1}+48t+105)}{128(\sqrt{t+1}+1)^{2}}> 0$

 

Do đó $f(t)\leq f(\frac{9}{16})=\frac{3}{16}$

 

Vậy $MAX(P)=\frac{3}{16}$ khi $x=\frac{3}{4}, y=0\vee x=0, y=\frac{3}{4}$

 

p/s: bài này gõ talex mệt quá.ec.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:22