Cho các số tự nhiên $a$, $b$, $c$ sao cho $a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$. Chứng minh rằng một trong số các số sau là số chính phương.
Chứng minh $ab$ hoặc $bc$ hoặc $ca$ là số chính phương
Started By VMFdiendantoanhoc, 17-08-2013 - 19:07
#2
Posted 17-08-2013 - 19:42
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 posts
PQT
Từ giả thiết $a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ta suy ra $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca) \qquad (1)$
$(1) \Rightarrow (a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)$.
Nhận thấy $(a+b+c)^2$ và $4$ chính phương nên ta phải có $ab+bc+ca$ chính phương.
$(1) \Rightarrow (a+b-c)^2=4ab$.
Nhận thấy $(a+b-c)^2$ và $4$ là số chính phương nên $ab$ là số chính phương.
$(1) \Rightarrow (b+c-a)^2=4bc$ nên $bc$ chính phương.
$(1) \Rightarrow (c+a-b)^2=4ca$ nên $ca$ là số chính phương.
- LNH, nhatquangsin, Trang Luong and 3 others like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Posted 18-08-2013 - 11:32
bachhammer
-
- Thành viên
-
- 659 posts
Thiếu úy
Từ giả thiết $a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ta suy ra $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca) \qquad (1)$$(1) \Rightarrow (a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)$.Nhận thấy $(a+b+c)^2$ và $4$ chính phương nên ta phải có $ab+bc+ca$ chính phương.$(1) \Rightarrow (a+b-c)^2=4ab$.Nhận thấy $(a+b-c)^2$ và $4$ là số chính phương nên $ab$ là số chính phương.$(1) \Rightarrow (b+c-a)^2=4bc$ nên $bc$ chính phương.$(1) \Rightarrow (c+a-b)^2=4ca$ nên $ca$ là số chính phương.
Nếu đề yêu cầu tìm các bộ số a, b, c thoả mãn yêu cầu đề bài thì giải như thế nào nhỉ? 
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
