Chủ đề này có 2 trả lời

[thukilop]

$\boxed{\text{Problem}}$

Cho pt: $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4x-1}+...+\frac{1}{k^{2}x-1}+...+\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{2}$

 

a) Chứng minh với mỗi n nguyên dương thì pt trên có duy nhất 1 nghiệm $x_{n}>1$

b) Chứng minh: lim$x_{n}$=4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 22-08-2013 - 21:30

[duongtoi]

$\boxed{\text{Problem}}$

Cho pt: $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4x-1}+...+\frac{1}{k^{2}x-1}+...+\frac{1}{n^{2}-1}=0$

 

a) Chứng minh với mỗi n nguyên dương thì pt trên có duy nhất 1 nghiệm $x_{n}>1$

b) Chứng minh: lim$x_{n}$=4

Bạn xem lại đề bài nhé.

Phản chứng. Giả sử $x>1$.

Ta có$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4x-1}+...+\frac{1}{k^{2}x-1}+...+\frac{1}{n^{2}-1}>0$ nên không thể có nghiệm $x>1$ được.

[thanhdotk14]

 

$\boxed{\text{Problem}}$

Cho pt: $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4x-1}+...+\frac{1}{k^{2}x-1}+...+\frac{1}{n^{2}-1}=0$

 

a) Chứng minh với mỗi n nguyên dương thì pt trên có duy nhất 1 nghiệm $x_{n}>1$

b) Chứng minh: lim$x_{n}$=4

Đề của bạn thiếu r, đây là đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2002, mình xin sửa lại đề và trình bay bài giải như sau:    

_________________________________________________________

Đề bài:  Cho phương trình: $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4x-1}+...+\frac{1}{k^2x-1}+...+\frac{1}{n^2x-1}-\frac{1}{2}=0$$

$a)$ Chứng minh rằng với mỗi $n$ nguiyên dương thì phương trình trên có duy nhất một nghiệm $x_n>1$

$b)$ Chứng minh rằng: $\lim x_n=4$

Bài giải:

$a)$ Đặt: $$f_n(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{4x-1}+...+\frac{1}{n^2x-1}-\frac{1}{2}$$

Khi đó ta có: $\lim _{x\to 1^+}f_n(x)=+\infty, \lim_{x\to +\infty}f_n(x)=-\frac{1}{2}$

Hơn nữa $f_n$ giảm trên $(1; +\infty)$

Từ đó dễ dàng suy ra được với mỗi $n$ nguyên dương thì phương $f_n(x)=0$ luôn có một nghiệm duy nhất $x_n>1$

$b)$ Ta có: $f_n(x_n)=0$ 

$$f_n(4)=\frac{1}{4-1}+\frac{1}{16-1}+...+\frac{1}{4n^2-1}-\frac{1}{2}$$

$$=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}-\frac{1}{2}$$

$$=\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) -\frac{1}{2}=-\frac{1}{4n+2}$$

Áp dụng định lí $Lagrange$ ta có: $$\frac{1}{4n+2}=|f_n(x_n)-f_n(4)|=|f'_n(c)|.|x_n-4|$$

Với $c\in (x_n;4)$

Lại có: $$|f'_n(c)|=\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{(4x-1)^2}+...+\frac{n^2}{(n^2x-1)^2}> \frac{1}{9}$$

(Vì $1<c<4$)

Do đó ta có: $$0<|x_n-4|<\frac{9}{4n+2}$$

Từ đó dễ dàng suy ra được: $\lim x_n=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 20-08-2013 - 15:23