Cho các số a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ac = 1. Chứng minh:
$\frac{1}{3+2(a^2-bc)} + \frac{1}{3+2(b^2-ac)} + \frac{1}{3+2(c^2-ab)}$ $\geq$ 1
$\frac{1}{3+2(a^2-bc)} + \frac{1}{3+2(b^2-ac)} + \frac{1}{3+2(c^2-ab)}$ $\geq$ 1
Bắt đầu bởi VodichIMO, 20-08-2013 - 22:16
#2
Đã gửi 17-12-2021 - 15:18
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đặt $(ab,bc,ca)\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow (a^2,b^2,c^2)\rightarrow (\frac{zx}{y},\frac{xy}{z},\frac{yz}{x})$ và $x+y+z=1$
Lúc đó: $VT=\frac{1}{3+2(\frac{zx}{y}-y)}+\frac{1}{3+2(\frac{xy}{z}-z)}+\frac{1}{3+2(\frac{yz}{x}-x)}=\frac{y^2}{3y^2+2xyz-2y^3}+\frac{z^2}{3z^2+2xyz-2x^3}+\frac{x^2}{3x^2+2xyz-2z^3}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3-3xyz)}=\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
