Chủ đề này có 1 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho a,b,c >0,a^2+b^2+c^2+c^2=1.CMR

$\sum \frac{a^2+b^2}{b+c}\geq \sqrt{3}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 21-08-2013 - 18:21

[Juliel]

Cho a,b,c >0,$a^2 +b^2+c^2=1$.CMR

$\sum \frac{a^2+b^2}{b+c}\geq \sqrt{3}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Shwarz$ :

$$VT\geq \frac{\left ( \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}$$

Ta cần chứng minh :

$$\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}\geq 2\sqrt{3}(a+b+c)$$

Thật vậy, áp dụng lần lượt các BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có :

$$\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum 2(ac+b^{2})=(a+b+c)^{2}+3\geq 2\sqrt{3}(a+b+c)$$

Đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$