Chủ đề này có 2 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho a,b,c>0.CMR

            $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

[nguyencuong123]

Không biết có đúng không.vì các đa thức vế trái cùng bậc nên chuẩn hoá $a+b+c=0\Rightarrow 3abc=\sum a^{3}\Rightarrow VT\geq 1\geq VP$

[Juliel]

Cho a,b,c>0.CMR

            $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Bài này S-S giải ngon !

Viết BĐT thành :

$$1-\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{3}-\frac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$$

Nhận xét rằng ta có các đẳng thức sau :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)$

Do đó cần chứng minh :

$$\frac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} \right )(a-b)^{2}+\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} \right )(a-c)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)\geq 0\qquad(*)$$

Ta sẽ chứng minh $A,B\geq 0$ dễ thấy chỉ cần chứng minh $A=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\geq 0$ là đủ vì $B\geq A$.

Thật vậy, 

$$A=\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c>0$

Áp dụng  BĐT $Chebyshev$ với hai dãy cùng chiều $(a;b;c);(a^{2};b^{2};c^{2})$ thì :$$3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Rightarrow A\geq 0\Rightarrow A,B\geq 0$$

Mà ta có $a\geq b\geq c>0 \Rightarrow (a-c)(b-c)\geq 0\Rightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)\geq 0$

Ta có $(*)$, đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-08-2013 - 13:08