Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenqn1998]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=a+b+c+2. Tìm min

A=abc(a-1)(b-1)(c-1)

[thanhdotk14]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=a+b+c+2$. Tìm min

$A=abc(a-1)(b-1)(c-1)(1)$

Bài giải: Từ giả thiết, ta suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho: $$a=\frac{y+z}{x},b=\frac{z+x}{y},c=\frac{x+y}{z}$$

Khi đó, $(1)$ được viết lại thành:

$$(x+y)(y+z)(z+x)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\le 8x^2y^2z^2$$

$$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[xyz-(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)]\ge xyz[(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz]$$

$$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[(x+y-z)(x-y)^2+z(x-z)(y-z)]\ge xyz[2z(x-y)^2+(x+y)(x-z)(y-z)(2)$$

$$\Leftrightarrow M(x-y)^2+N(x-z)(y-z)\ge 0$$

Với: $M=(x+y)(y+z)(z+x)(x+y-z)-xyz.2z$

$N=(x+y)(y+z)(z+x).z-xyz(x+y)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $z=min\left\{x;y;z\right\}$

Khi đó ta cần chứng minh $M,N\ge 0$

Ta có: $M\ge 8xyz.x-2xyz.z=2xyz(4x-z)\ge 0$

$N=z(x+y)[(y+z)(z+x)-xy]\ge c(x+y) (xy-xy)=0$

Vậy bài toán đã được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 25-08-2013 - 21:40

[nguyenqn1998]

Bài giải: Từ giả thiết, ta suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho: $$a=\frac{y+z}{x},b=\frac{z+x}{y},c=\frac{x+y}{z}$$

Khi đó, $(1)$ được viết lại thành:

$$(x+y)(y+z)(z+x)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\le 8x^2y^2z^2$$

$$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[xyz-(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)]\ge xyz[(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz]$$

$$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[(x+y-z)(x-y)^2+z(x-z)(y-z)]\ge xyz[2z(x-y)^2+(x+y)(x-z)(y-z)(2)$$

$$\Leftrightarrow M(x-y)^2+N(x-z)(y-z)\ge 0$$

Với: $M=(x+y)(y+z)(z+x)(x+y-z)-xyz.2z$

$N=(x+y)(y+z)(z+x).z-xyz(x+y)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $z=min\left\{x;y;z\right\}$

Khi đó ta cần chứng minh $M,N\ge 0$$phần đầu tương tự tới phần chứng minh (x+y)(y+z)(z+x)(x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)\leq 8x^2y^2z^2 dễ thấy x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác nên ta luôn có bất đẳng thức (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)\leq xyz ta có công thức: nếu x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác thì (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=x^2y^2z^2/((x+y+z)R^2) (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) dpcm <=> (x+y+z)R^2\geq (x+y)(y+z)(z+x)/8 mà 9R^2\geq x^2+y^2+z^2 => 8(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\geq 9(x+y)(y+z)(z+x) ta lại có 8(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\geq 8(x+y+z)^3/3 (bất đẳng thức C.S) => 9(x+y)(y+z)(z+x)\leq 8(x+y+z)^3/3 Áp dụng bất đẳng thức cô-si => dpcm dấu '=' khi x=y=z=2 hay a=b=c=2$

Ta có: $M\ge 8xyz.x-2xyz.z=2xyz(4x-z)\ge 0$

$N=z(x+y)[(y+z)(z+x)-xy]\ge c(x+y) (xy-xy)=0$

Vậy bài toán đã được chứng minh

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=2$

$phần đầu tương tự tới phần chứng minh (x+y)(y+z)(z+x)(x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)\leq 8x^2y^2z^2

dễ thấy x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác nên ta luôn có bất đẳng thức (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)\leq xyz

ta có công thức: nếu x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác thì (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=x^2y^2z^2/((x+y+z)R^2) (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)  

dpcm

<=> (x+y+z)R^2\geq (x+y)(y+z)(z+x)/8 mà 9R^2\geq x^2+y^2+z^2

=> 8(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\geq 9(x+y)(y+z)(z+x)

ta lại có 8(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\geq 8(x+y+z)^3/3 (bất đẳng thức C.S)

=> 9(x+y)(y+z)(z+x)\leq 8(x+y+z)^3/3

Áp dụng bất đẳng thức cô-si => dpcm

dấu '=' khi x=y=z=2 hay a=b=c=2$