Chủ đề này có 2 trả lời

[T M]

Bài 1. Tìm tất cả hàm $f$ thỏa mãn $ f:R \to R$ thỏa $$f(x+1)-f(x)=2^{-x}$$

 

Bài 2. Cho $a$ là một hằng số dương. Tìm $f$ xác định trên $R$ sao cho $$f(x+a)=-f(x)$$

 

[Idie9xx]

 

Bài 1. Tìm tất cả hàm $f$ thỏa mãn $ f:R \to R$ thỏa $$f(x+1)-f(x)=2^{-x}$$

 

Bài 2. Cho $a$ là một hằng số dương. Tìm $f$ xác định trên $R$ sao cho $$f(x+a)=-f(x)$$

 

Bài 1: Ta có $f(x+2)-f(x)=(f(x+2)-f(x+1))+(f(x+1)-f(x))=2^{-x-1}+2^{-x}=2^{-x}(1+2^{-1})$

Tương tự có thể chứng minh được $f(x+n)-f(x)=2^{-x}\left ( \sum_{i=0}^{n-1}2^{-i} \right ),n\in \mathbb{N^*}$

Cũng có $f(x)-f(x-n)=2^{-x+n}\left ( \sum_{i=0}^{n-1}2^{-i} \right )=2^{-x}\left ( \sum_{i=1}^{n}2^{i} \right )$

Với $x>0$ thì $f(x)=f(\left \lfloor x \right \rfloor+\left \{ x \right \})=2^{-\left \{ x \right \}}\left ( \sum_{i=0}^{\left \lfloor x \right \rfloor -1} 2^{-i}\right )+f(\left \{ x \right \})$

Với $x<0$ có $f(x)=f(\left \lfloor x \right \rfloor+\left \{ x \right \})=2^{-\left \{ x \right \}}\left ( \sum_{i=1}^{-\left \lfloor x \right \rfloor } 2^{i}\right )+f(\left \{ x \right \})$

Vậy ta chỉ cần cho $f(\left \{ x \right \})$ có giá trị bất kì là xác định được hàm $f$

 

Bài 2: $f(x)=-f(x+a)=f(x+2a)$ nên $f$ tuần hàm chu kì $2a$

Vậy chỉ cần xác định giá trị của $f$ tại $[0;2a)$ mà $f(x)=-f(x+a)$

Nên với hàm $g:[0;a)\rightarrow \mathbb{R}$ bất kì.

Ta xác định hàm $f$ nhu sau $\left\{\begin{matrix} f(x)=g(x),x\in [0;a)\\f(x)=f(x-a),x\in [a;2a) \\f(x)=f(x+2a) \end{matrix}\right.$

[T M]

Thực ra bài $(1)$ có thể thông qua bài toán tìm hàm $f: R \to R$ thỏa $f(x+1)=f(x)$ thì có vẻ đơn giản hơn

 

Cảm ơn bạn nha .