Cho ba số dương thỏa mãn : $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P=\cfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\cfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\cfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thienminhdv: 01-09-2013 - 13:28
Tìm $MinP=\cfrac{b\sqrt{b}}{2a+b+c}+\cfrac{c\sqrt{c}}{2b+c+a}+\cfrac{a\sqrt{a}}{2c+a+b}$
Bắt đầu bởi thienminhdv, 01-09-2013 - 13:24
#2
Đã gửi 01-09-2013 - 14:42
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Ta có:
$\dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a + b + c}} = \dfrac{2b^2}{\sqrt{4b(2a + b + c)}} \geq \dfrac{2b^2}{\dfrac{5b + 2a + c}{2}} = \dfrac{4b^2}{5b + 2a + c}$
Chứng minh tương tự với các biểu thức còn lại, suy ra:
$P \geq 4\left (\dfrac{b^2}{5b + 2a + c} + \dfrac{c^2}{5c + 2b + a} + \dfrac{a^2}{5a + 2c + b}\right )$
$\geq 4.\dfrac{(a + b + c)^2}{8(a + b + c)} = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{3}{2}$
Vậy: $Min_P = \dfrac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
