Chủ đề này có 2 trả lời

[Alexman113]

Cho $a,\,b,\,c\geq0$ thỏa $a+b+c=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3$$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Chú ý: Nếu x + y + z = 0 thì $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \,\,\, (1)$

Do $(a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$ nên từ (1):

$\Rightarrow P=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3 =3(a - b)(b - c)(c - a)$

 

Do có ít nhất 2 trong 3 số $a - b, b - c, c - a$ cùng dấu nên không mất tính tổng quát, giả sử $a - b$ và $b - c$ cùng dấu. Ta thấy:

- Nếu $a - b$ và $b - c$ cùng dương thì $a \geq b \geq c \Rightarrow c - a \leq 0 \Rightarrow P \leq 0$

- Nếu $a - b$ và $b - c$ cùng âm thì $a \leq b \leq c$, khi đó: $P = 3(b - a)(c - b)(c - a)$

Do $a \geq 0$ nên ta có: 

$P \leq 3bc(c - b) = \dfrac{6}{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}.b.(2 - \sqrt{3})c.\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}(c - b)$

 

$\leq \dfrac{6}{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}\left [ \dfrac{b + \left (2 - \sqrt{3} \right )c + \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}(c - b)}{3}\right ]^3 = \dfrac{\sqrt{3}}{6}(b + c)^3$

 

Do $b + c = 1 - a \leq 1$ nên từ đó suy ra: $P \leq \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = 0, b = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{6}, c = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}$

[KietLW9]

Vì $(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$ nên $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2\leqslant [(a-b)]ab]^2= \frac{(\sqrt[3]{2ab.2ab(a-b)^2})^3}{4}\leqslant \frac{(\frac{2ab+2ab+(a-b)^2}{3})^3}{4}=\frac{(a+b)^6}{108}=\frac{1}{108}\Rightarrow 3(a-b)(b-c)(c-a)\leqslant \frac{\sqrt{3}}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 26-04-2021 - 15:04