Cho $m , n$ là hai số tự nhiên sao cho $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0$ . Chứng minh rằng $\sqrt{7}n - m > \frac{1}{m}$
Cho $m , n$ là hai số tự nhiên sao cho $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0$ . Chứng minh rằng $\sqrt{7}n - m > \frac{1}{m}$
Bắt đầu bởi NLBean, 03-09-2013 - 13:24
#1
Đã gửi 03-09-2013 - 13:24
NLBean
-
- Thành viên
-
- 88 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 03-09-2013 - 22:05
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1670 Bài viết
Độc cô cầu bại
Bài toán này khá được ( từng làm mình đau đầu )
Tuy nhiên mình thử chứng minh như sau
Viết lại giả thiết là
$\sqrt{7}n>m$
Ta sẽ chứng minh
$\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}$
Ta chứng minh bằng quy nạp bài toán này .
Ta chứng minh quy nạp theo $n$
Trước hết ta chứng minh trong các số tự nhiên nhỏ hơn $\sqrt{7}n$ mà $m=max$ đúng thì nó đúng với mọi $m$ không lớn hơn nó .$(1)$
Ta chứng minh $m+\frac{1}{m}>m-1+\frac{1}{m-1}$
Thế nhưng bất đẳng thức này đúng , vậy $(1)$ được chứng minh
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng đến $n$ nào đó , ta chứng minh nó đúng với $n+1$ .
Nhân xét khi $n$ tăng $1$ đơn vị thì vế trái tăng $\sqrt{7}$ , mặt khác $2<\sqrt{7}<3$ nên ở đây $max=m+2$
Ta chứng minh : $\sqrt{7}n+\sqrt{7}>m+2+\frac{1}{m+2}$
Nhưng theo giả thiết quy nạp ta đã có $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}>m+\frac{1}{m+2}$
Nên chỉ cần chứng minh $\sqrt{7}>2$ , hiển nhiên đúng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-09-2013 - 22:08
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 03-09-2013 - 22:48
Nguyen Huy Tuyen
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
Cho $m , n$ là hai số tự nhiên sao cho $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0$ . Chứng minh rằng $\sqrt{7}n - m > \frac{1}{m}$
Tuy nhiên mình thử chứng minh như sau
Viết lại giả thiết là
$\sqrt{7}n>m$
Ta sẽ chứng minh
$\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}$
Ta chứng minh bằng quy nạp bài toán này .
Ta chứng minh quy nạp theo $n$
Trước hết ta chứng minh trong các số tự nhiên nhỏ hơn $\sqrt{7}n$ mà $m=max$ đúng thì nó đúng với mọi $m$ không lớn hơn nó .$(1)$
Ta chứng minh $m+\frac{1}{m}>m-1+\frac{1}{m-1}$
Thế nhưng bất đẳng thức này đúng , vậy $(1)$ được chứng minh
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng đến $n$ nào đó , ta chứng minh nó đúng với $n+1$ .
Nhân xét khi $n$ tăng $1$ đơn vị thì vế trái tăng $\sqrt{7}$ , mặt khác $2<\sqrt{7}<3$ nên ở đây $max=m+2$
Ta chứng minh : $\sqrt{7}n+\sqrt{7}>m+2+\frac{1}{m+2}$
Nhưng theo giả thiết quy nạp ta đã có $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}>m+\frac{1}{m+2}$
Nên chỉ cần chứng minh $\sqrt{7}>2$ , hiển nhiên đúng
Mình có cách này,m.n xem thế nào.
Theo giả thiết ta có:$7n^2>m^2$
vậy sẽ tồn tại số nguyên dương $x$ sao cho $7n^2=m^2+x$
Ta có $m^2$ chia 7 dư $0,1,2,4$ vậy $x$ chia 7 dư $0;6;5;3$
mà $x>0$ nên $Min(x)=3$ hay $7n^2\geqslant m^2+3>m^2+2+1/m^2=(m+1/m)^2$
suy ra $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Leftrightarrow \sqrt{7}n-m> \frac{1}{m}$
- Zaraki, yeutoan11 và bangbang1412 thích
Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
