Bài toán : Giải phương trình hàm sau : (2013 Japan Final)
\[ f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn) \]
Bài toán : Giải phương trình hàm sau : (2013 Japan Final)
\[ f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn) \]
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
Không có điều kiện của $f$ à bạn
Chắc bạn ghi thiếu đề
Mình bổ sung là $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$
Giải như sau
Cho $n=1$ ta được $f(m)+f(1)=f(m)+f(2m+1)\Rightarrow f(m)=f(2m+1)$
Cho $n=-1$ ta được $f(m)+f(-1)=f(-m)+f(-1)\Rightarrow f(m)=f(-m)$
Cho $n=2$ ta được $f(m)+f(2)=f(2m)+f(3m+2)$
Cho $n=-2$ ta được $f(m)+f(-2)=f(-2m)+f(m+2)$
Do đó với $m$ lẻ ta có $f(2m+1)=f(1)$
Với $m$ chẵn bằng quy nạp ta cũng chỉ ra được $f(2m)=f(2)$
Vậy $f(x)=f(1)$(khi $x$ lẻ),$f(x)=f(2)$(khi $x$ chẵn)
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh