Chủ đề này có 4 trả lời

[Alexman113]

Cho các số thực $x,\,y$ sao cho $x\neq0$ và $y>0$ thỏa mãn $2y^2\left(11x^2+1\right)=8x^4+6y^4+1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{4x^2+y^2}+y\right)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 04-09-2013 - 20:25

[Tru09]

Bài làm :

Đặt $y=kx$

Ta có :$y^4(22k^2 -8k^4-6) +2y^2 -1 =0$

$\Rightarrow y^4 (8k^4 -22k^2 +6) -2 y^2 +1 =0$

$\Delta' =1 -(8k^4 -22k^2 +6) > 0$

$\Leftrightarrow  (2k^2 -5)(4k^2 -1) <0$

$\Leftrightarrow  \frac{1}{4} \leq k^2 \leq \frac{5}{2} $

Ta có :

$P =\frac{k^2y^3}{y^2(k^2+1)(y\sqrt{4k^2+1}+y)} =\frac{\sqrt{4k^2+1}-1}{4(k^2+1)}$

Đặt $ t =\sqrt{4k^2 +1} \Rightarrow \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{11}$

Đến đây dễ dàng tìm đc min P :3

 

[Alexman113]

Bài làm :

Đặt $y=kx$

Ta có :$y^4(22k^2 -8k^4-6) +2y^2 -1 =0$

$\Rightarrow y^4 (8k^4 -22k^2 +6) -2 y^2 +1 =0$

$\Delta' =1 -(8k^4 -22k^2 +6) > 0$

$\Leftrightarrow  (2k^2 -5)(4k^2 -1) <0$

$\Leftrightarrow  \frac{1}{4} \leq k^2 \leq \frac{5}{2} $

Ta có :

$P =\frac{k^2y^3}{y^2(k^2+1)(y\sqrt{4k^2+1}+y)} =\frac{\sqrt{4k^2+1}-1}{4(k^2+1)}$

Đặt $ t =\sqrt{4k^2 +1} \Rightarrow \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{11}$

Đến đây dễ dàng tìm đc min P :3

Cho em hỏi cách làm trên là gì và ý tưởng thế nào vậy ạ?

[25 minutes]

Cho các số thực $x,\,y$ sao cho $x\neq0$ và $y>0$ thỏa mãn $2y^2\left(11x^2+1\right)=8x^4+6y^4+1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{4x^2+y^2}+y\right)}$$

Dễ thấy $P$ là $1$ biểu thức đồng bậc nên chia cả tử và mẫu cho $y^3$ ta được

               $P=\frac{\frac{x^2}{y^2}}{(\frac{x^2}{y^2}+1)(\sqrt{\frac{4x^2}{y^2}+1}+1)}=\frac{t^2}{(t^2+1)(\sqrt{4t^2+1}+1)}=f(t)$

Bây giờ ta chỉ cần tìm miền giá trị của $t$ nữa là xong

Từ giả thiết ta có : Chia cả $2$ vế cho $y^4$ ta được

                $\frac{22x^2}{y^2}+\frac{2}{y^2}=\frac{8x^4}{y^4}+6+\frac{1}{y^4}$

   $\Rightarrow 8t^4-22t^2+6=\frac{2}{y^2}-\frac{1}{y^4}\leqslant 1$ theo AM-GM

   $\Rightarrow 8t^4-22t^2+5\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leqslant t^2\leqslant \frac{5}{2}$

Đến đây dùng đạo hàm khảo sát $f(t)$, ý tưởng bài chắc lấy từ đề khối D năm nay rồi

[25 minutes]

Đến đây dễ dàng tìm đc min P :3

Theo mình tính thì $P_{min}=\frac{\sqrt{2}-1}{5}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\y=1 \end{matrix}\right.$