Hạ sĩ
1) CMR: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$ với mọi a,b,c>0
2) CMR: $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$ với a,b,c là 3 cạnh tam giác
3) CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ với mọi a,b,c>0
Độc cô cầu bại
Bài 1 : Áp dụng bdt cauchy - schwarz ta có :
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{2\sum a}=\frac{\sum a}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c>0$
Bài 2 : Chứng minh tương tự bài một .
Bài 3 : Áp dụng bdt cauchy - schwarz ta có :
$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+bc}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{2\sum ab}\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c>0$
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Trung sĩ
1) CMR: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$ với mọi a,b,c>0
2) CMR: $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$ với a,b,c là 3 cạnh tam giác
3) CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ với mọi a,b,c>0
mình xin chém câu 1 theo bất đẳng thức BCS ta có $\left [ \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right )^2+\left ( \frac{b}{\sqrt{a+c}} \right )^2+\left ( \frac{c}{\sqrt{a+b}} \right )^2 \right ]\left [ (\sqrt{b+c})^2+(\sqrt{a+c})^2+(\sqrt{a+b})^2 \right ]\geq \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}.\sqrt{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b} \right )^2$
=>$\left ( \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \right ).\left [ 2\left ( a+b+c \right ) \right ]\geq (a+b+c)^2$
=>$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Lý Phước Công
Trung sĩ
đang rảnh nên làm luôn câu 3
Dễ dàng chứng minh được BDT $\left ( x+y+z \right ).\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
Ta có : $2\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \right )\geq 9$
=>$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \right )\geq 4,5$
=>$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq 4,5$
=>$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\geq 4,5$
=>$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq 1,5$
Lý Phước Công
Độc cô cầu bại
đang rảnh nên làm luôn câu 3
Dễ dàng chứng minh được BDT $\left ( x+y+z \right ).\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
Ta có : $2\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \right )\geq 9$
=>$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \right )\geq 4,5$
=>$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq 4,5$
=>$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\geq 4,5$
=>$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq 1,5$
mấy cách này dài quá 
vẫn được , nhưng k nên ghi 2 cmt
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Trung sĩ
1) CMR: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$ với mọi a,b,c>0
2) CMR: $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$ với a,b,c là 3 cạnh tam giác
3) CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ với mọi a,b,c>0
Câu 2 cũng tương tự câu 1
Trung sĩ
1) CMR: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$ với mọi a,b,c>0
2) CMR: $\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$ với a,b,c là 3 cạnh tam giác
3) CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ với mọi a,b,c>0
Một cách khác nữa cho bài 1.
Theo AM-GM thì:
$$\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b+c}{4} \ge a$$
$$\to \sum \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{2\sum a}{4} \ge \sum a$$
$$ \iff \dfrac{a^2}{b+c} \ge \dfrac{\sum a}{2}$$
Dấu "="...
Thanks bangbang. Fixed.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 08-09-2013 - 19:29
Hạ sĩ
lâu ngày chưa CM bđt Nesbitt:
$\sum\frac{b}{c+b}+\sum \frac{c}{b+c}=3$
$\sum\frac{a}{c+b}+\sum \frac{c}{b+c}\geq 3$
$\sum\frac{a}{c+b}+\sum \frac{b}{b+c}\geq 3$
$\Rightarrow$đpcm
ĐÚNG THÌ LIKE 
SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) 
@@@
Độc cô cầu bại
Một cách khác nữa cho bài 1.
Theo AM-GM thì:
$$\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b+c}{4} \ge a$$
$$\to \sum \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{2\sum a}{4} \ge \sum a$$
$$ \iff \dfrac{a^2}{b+c} \ge \sum a$$
Dấu "="...
cái kết luận sai rồi
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
