Chủ đề này có 1 trả lời

[mua_buon_97]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm $\max$ của $P=(1+2a)(1+bc)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 05-09-2013 - 22:04

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm $\max$ của $P=(1+2a)(1+bc)$.

Do vai trò của $b$ và $c$ là như nhau nên ta sẽ đưa về $1$ biến theo $a$

Áp dụng AM-GM ta có 

   $(1+2a)(1+bc)\leqslant (1+2a)(1+\frac{b^2+c^2}{2})=(1+2a)(1+\frac{1-a^2}{2})=\frac{3+6a-a^2-2a^3}{2}=f(a)$

$\Rightarrow f'(a)=\frac{6-2a-6a^2}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{-1+\sqrt{37}}{6}$, do $a \in (0,1)$

Lập bảng biến thiên của $f(a)$ ta thấy

                  $f(a)$ đồng biến trên $\left (0;\frac{-1+\sqrt{37}}{6} \right ]$

                  $f(a)$ nghịch biến trên $\left (\frac{-1+\sqrt{37}}{6};1 \right )$

$\Rightarrow f(a)\leqslant f(\frac{-1+\sqrt{37}}{6})=k$

$\Rightarrow P\leqslant k$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=\frac{-1+\sqrt{37}}{6}\\a^2+b^2+c^2=1 \\b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-1+\sqrt{37}}{6}\\b=c=\frac{\sqrt{\sqrt{37}-1}}{6} \end{matrix}\right.$