Chủ đề này có 5 trả lời

[viendanho98]

tim min voi a,b,c la cac số thực khác 0

A=$\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}$

[Supermath98]

tim min voi a,b,c la cac số thực khác 0

A=$\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}$

Ta có: $\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được: 

$\large A\geq \frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Mặt khác: $\large 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}$

Do đó: $\large A\geq \frac{2}{3}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

 

 

p/s: Mình sai mất rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 06-09-2013 - 21:08

[HungHuynh2508]

Ta có: $\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được: 

$\large A\geq \frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Mặt khác: $\large 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}$

Do đó: $\large A\geq \frac{2}{3}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c

a=b=c thì A =$\frac{3}{5}$ mà bạn

[HungHuynh2508]

Ta có: $\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được: 

$\large A\geq \frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Mặt khác: $\large 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}$

Do đó: $\large A\geq \frac{2}{3}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

 

 

p/s: Mình sai mất rồi!

đoạn này dấu bằng là a=b+c nè...

[Ha Manh Huu]

tim min voi a,b,c la cac số thực khác 0

A=$\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}$

$(b+c)^2 \leq 2b^2+2c^2\Rightarrow \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}\Rightarrow A \geq \sum \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}$

đặt $a^2=x ; b^2=y; c^2=z$ ta có $A \geq \sum \frac{x}{x+2y+2z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4xy+4yz+4zx}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+2xy+2yz+2zx}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{2}{3}(x+y+z)^2}=\frac{3}{5}$

dấu = khi x=y=z

[zBooBz]

Ta có: $\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được: 
$\large A\geq \frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Mặt khác: $\large 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}$
Do đó: $\large A\geq \frac{2}{3}$
Dấu = xảy ra khi a=b=c
p/s: Mình sai mất rồi!

$\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}$
Dòng này hình như bị sai chiều bđt, mình nghĩ phải là như vầy..
$\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}$
Nên bài của bạn có vẻ không ổn cho mấy nhỉ ^^