Tìm k nguyên dương để phương trình
$x^2 + y^2 +x+y=kxy$ có nghiệm (x,y) nguyên dương
Tìm k nguyên dương để phương trình
$x^2 + y^2 +x+y=kxy$ có nghiệm (x,y) nguyên dương
Gọi $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x_{0}\geq y_{0}\geq 1$
Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :
$$x^{2}+y_{0}^{2}+x+y_{0}=kxy_{0}\Leftrightarrow x^{2}+x(1-ky_{0})+y_{0}^{2}+y_{0}=0$$
Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm $x_{0}$, gọi nghiệm còn lại là $x_{1}$
Theo định lí $Viete$ :
$$\left\{\begin{matrix} x_{0}+x_{1}=ky_{0}-1 & (1) & \\ x_{0}x_{1}=y_{0}^{2}+y_{0} & & \end{matrix}\right.$$
Do tính nhỏ nhất của tổng $x_{0}+y_{0}$ mà ta có $x_{1}\geq x_{0}$.
Do đó từ $(1)$, ta có : $$ky_{0}-1\geq 2x_{0}\Rightarrow \frac{2x_{0}}{y_{0}}+\frac{1}{y_{0}}\leq k$$
Từ phương trình :
$$k=\frac{x_{0}}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{y_{0}}=\left ( \frac{x_{0}}{y_{0}} +\frac{1}{2y_{0}}\right )+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{2y_{0}}\leq \frac{k}{2}+1+1+\frac{1}{2}\Rightarrow k\leq 5\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;3;4;5 \right \}$$
$\frac{x}{y}+\frac{1}{2y}=\frac{k}{2}=\frac{5}{2},\frac{1}{x}=1,\frac{1}{2y}=1,\frac{y}{x}=1$
Dễ thấy không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn tất cả các điều trên. Trường hợp này bị loại.
Kết luận : $\boxed{k\in \left \{ 3;4 \right \}}$
Tks Hoàng, đã sửa !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 07-09-2013 - 17:55
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Tìm k nguyên dương để phương trình
$x^2 + y^2 +x+y=kxy$ có nghiệm (x,y) nguyên dương
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$
Xét trường hợp $x=y$
$x^2+y^2+x+y=kxy$
$\Leftrightarrow 2x^2+2x=kx^2$
$\frac{2x+2}{x}=k$
$\Rightarrow x\mid 2$
Dễ thấy $k=3,4$
Xét trường hợp $x>y$
Khi đó $y$ không chia hết cho $x$, suy ra $y+1 \vdots x$
Mà $x \geq y+1$ nên $x=y+1$
Thay vào PT ta được
$\left ( y+1 \right )^2+y^2+\left ( y+1 \right )+y=k\left ( y+1 \right )y$
$\Leftrightarrow \left ( y+1 \right )+y+1=ky$
Suy ra $ y \mid 2$
Làm tương tự như trên suy ra $k=3,4$
Vậy $k \in \left \{ 3,4 \right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 07-09-2013 - 17:33
Gọi $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x_{0}\geq y_{0}\geq 1$
Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :
$$x^{2}+y_{0}^{2}+x+y_{0}=kxy_{0}\Leftrightarrow x^{2}+x(1-ky_{0})+y_{0}^{2}+y_{0}=0$$
Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm $x_{0}$, gọi nghiệm còn lại là $x_{1}$
Theo định lí $Viete$ :
$$\left\{\begin{matrix} x_{0}+x_{1}=ky_{0}-1 & (1) & \\ x_{0}x_{1}=y_{0}^{2}+y_{0} & & \end{matrix}\right.$$
Do tính nhỏ nhất của tổng $x_{0}+y_{0}$ mà ta có $x_{1}\geq x_{0}$.
Do đó từ $(1)$, ta có : $$ky_{0}-1\geq 2x_{0}\Rightarrow \frac{2x_{0}}{y_{0}}+\frac{1}{y_{0}}\leq k$$
Từ phương trình :
$$k=\frac{x_{0}}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{y_{0}}=\left ( \frac{x_{0}}{y_{0}} +\frac{1}{2y_{0}}\right )+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{2y_{0}}\leq \frac{k}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Rightarrow k\leq 4\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$$
- Với $k=1$, ta có : $x^{2}+y^{2}+x+y=xy$, phương trình này vô nghiệm nguyên dương vì $x^{2}+y^{2}+x+y\geq 2xy+x+y>xy$
- Với $k=2$ , tương tự như trên, ta cũng lập luận được phương trình này vô nghiệm nguyên dương
- Với $k=3$, phương trình có nghiệm nguyên dương $(3;2)$
- Với $k=4$ thì dấu bằng phải xảy ra ở đồng thời các điểm sau :
$$\frac{x}{y}=1,\frac{1}{x}=1/2,\frac{1}{2y}=\frac{1}{2},\frac{k}{2}=\frac{x}{y}+\frac{1}{2y}$$
Dễ thấy không có các số nguyên $x,y$ nào thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Trường hợp này loại
Kết luận : $\boxed{k=3}$
Với $x=y=1$ thì $k=4$ vẫn thoả mãn mà
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$
Xét trường hợp $x=y$
$x^2+y^2+x+y=kxy$
$\Leftrightarrow 2x^2+2x=kx^2$
$\frac{2x+2}{x}=k$
$\Rightarrow x\mid 2$
Dễ thấy $k=3,4$
Xét trường hợp $x>y$
Khi đó $y$ không chia hết cho $x$, suy ra $y+1 \vdots x$
Mà $x \geq y+1$ nên $x=y+1$
Thay vào PT ta được
$\left ( y+1 \right )^2+y^2+\left ( y+1 \right )+y=k\left ( y+1 \right )y$
$\Leftrightarrow \left ( y+1 \right )+y+1=ky$
Suy ra $ y \mid 2$
Làm tương tự như trên suy ra $k=3,4$
Vậy $k \in \left \{ 3,4 \right \}$
???? y ko chia hết cho x => y+1 chia hết cho x ?????( x đâu phải nguyên tố)
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh