Chủ đề này có 1 trả lời

[VodichIMO]

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $ab+ac+bc$ $=$ $3$. Chứng minh:

 

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}$ $+$ $\frac{1}{1+b^2(c+a)}$ $+$ $\frac{1}{1+c^2(a+b)}$ $\leq$ $\frac{1}{(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}$

 

Bài này dành cho các bạn T1K23 ở trường THPT chuyên Hà Tĩnh nên mong người khác chờ một thời gian rồi đăng lời giải. 

 

[bangbang1412]

Bài này không khó lắm ,tham khảo cách mình nhé 

    Theo $AM-GM$ thì $1\geq abc (1)$

Ta có $a(b+c)=3-bc=>a^{2}(b+c)=3a-abc$ , vậy ta có bất đẳng thức tương đương

            $\sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}=\sum \frac{1}{3a+1-abc}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{1}{3}\sum \frac{1}{a}=\frac{1}{3}\frac{\sum ab}{abc}=\frac{1}{abc}$

Vậy cần chứng minh $\prod (a+b-c)\leq abc$ 

Bất đẳng thức này khá quen thuộc , ta có điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra $<=>a=b=c=1$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 08-09-2013 - 20:49