Lính mới
1. Cho $1 \leq a, b, c \leq 3$. Tìm GTNN của A = a + 2b + 3c
2. Cho a, b, c $\geq$ 0, a + b + c = 1. CM: $\sum \frac{a^2b^2}{1 - ab}$ $\leq$ $\frac{1}{12}$
3. Cho a, b, c $\geq$ 0, a + b + c = 1. CM: $\sum ab \geq 12 \sum a^3\sum a^2b^2$
4. Cho $a, b, c \geq 0$, a + b + c = 3. Tìm GTNN của $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} + \sqrt{c + 1}$
5. Cho $1 \leq a, b, c \leq 2$, a + b + c = 4. Tìm GTLN của $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
Dũng Dang Dở
Đặt $\sqrt{a+1}=x\ge 1; \sqrt{b+1}=y\ge 1; \sqrt{c+1}=z\ge 1$
Suy ra $x^2+y^2+z^2=6$
Ta có $(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1) \ge 0$
$\to xy+yz+zx+3 \ge 2(x+y+z)$
$\to 2(xy+yz+zx)+6 \ge 4(x+y+z)$
$\to (x+y+z)^2\ge 4(x+y+z)$
$\to x+y+z \ge 4$
_______
Em mới nháp qua. Sai đoạn mô thì nhắc em với. Tính em hay sai vặt
Dũng Dang Dở
Phải chăng $a+2b+3c \ge 1+2.1+3.1=6$?????
$\sqrt{MF}'s$ $member$
5. Cho $1 \leq a, b, c \leq 2$, a + b + c = 4. Tìm GTLN của $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
Áp dụng BĐT Cauchy :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(\frac{1}{a}+\frac{9}{16}a)+(\frac{1}{b}+\frac{9}{16}b)+(\frac{1}{c}+\frac{9}{16}c)-\frac{9}{16}(a+b+c)\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$
$GTNN=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 11-09-2013 - 18:32
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Binh nhất
Làm phương pháp nào mà có thể biến đổi và cộng những lượng như vậy hả bạn?Áp dụng BĐT Cauchy :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(\frac{1}{a}+\frac{9}{16}a)+(\frac{1}{b}+\frac{9}{16}b)+(\frac{1}{c}+\frac{9}{16}c)-\frac{9}{16}(a+b+c)\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$
$GTNN=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Làm phương pháp nào mà có thể biến đổi và cộng những lượng như vậy hả bạn?
Cái này gọi là phương pháp điểm rơi bằng BĐT Cauchy ta cần dự đoán dấu $=$ xảy ra khi nào và thường là $x=y=z$
Áp dụng vào bài trên thì ta sẽ cần thêm bớt những số nào 
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
PQT
Áp dụng BĐT Cauchy :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(\frac{1}{a}+\frac{9}{16}a)+(\frac{1}{b}+\frac{9}{16}b)+(\frac{1}{c}+\frac{9}{16}c)-\frac{9}{16}(a+b+c)\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$
$GTNN=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$
Một cách đơn giản hơn là áp dụng trực tiếp Cauchy-Schwarz $\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c \ge \frac{9}{a+b+c}$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
