Chủ đề này có 1 trả lời

[shinichikudo201]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho a;b;c dương và abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ac}\leq 1$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks.

[quocbaolqd11]

bổ đề 1: $x^5+y^5 \ge x^2.y^2(x+y)$

thật vậy, ta có: $x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=(x+y)((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2)$. Vì $(x-y)^2(x^2-xy+y^2) \ge 0$ nên $((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2) \ge x^2y^2$ nên ta có đpcm.

trở lại bài toán:

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{c}{abc(a+b)+c}=\frac{c}{a+b+c}$

Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.