Chủ đề này có 1 trả lời

[VDKAkam]

$sin^6(\frac{A}{2})+sin^6(\frac{B}{2})+sin^6(\frac{C}{2})\geq \frac{3}{64}$

[25 minutes]

$sin^6(\frac{A}{2})+sin^6(\frac{B}{2})+sin^6(\frac{C}{2})\geq \frac{3}{64}$

Sử dụng đẳng thức quen thuộc sau :

               $\sin^2\frac{A}{2}+\sin^2\frac{B}{2}+\sin^2\frac{C}{2}+2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=1$

Áp dụng AM-GM và $\sin x+ \sin y+ \sin z\leqslant 3\sin \frac{x+y+z}{3}$

           $\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leqslant \frac{1}{8}$

           $\Rightarrow \sin^2 \frac{A}{2}+\sin^2 \frac{B}{2}+\sin^2 \frac{C}{2}\geqslant \frac{3}{4}$

Lại áp dụng AM-GM ta có 

          $\sum \sin^6 \frac{A}{2}\geqslant \frac{(\sin^2 \frac{A}{2}+\sin^2 \frac{B}{2}+\sin^2 \frac{C}{2})^3}{9}\geqslant \frac{3}{64}$

Đẳng thức xảy ra khi tam giác đã cho đều