Cho ba số thực dương $x;y;z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x(\cfrac{x}{2}+\cfrac{1}{yz})+y(\cfrac{y}{2}+\cfrac{1}{xz})+z(\cfrac{z}{2}+\cfrac{1}{xy})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 13-09-2013 - 18:29
$P=\sum x(\cfrac{x}{2}+\cfrac{1}{yz})$
Bắt đầu bởi thienminhdv, 13-09-2013 - 17:59
#2
Đã gửi 14-09-2013 - 01:02
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho ba số thực dương $x;y;z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x(\cfrac{x}{2}+\cfrac{1}{yz})+y(\cfrac{y}{2}+\cfrac{1}{xz})+z(\cfrac{z}{2}+\cfrac{1}{xy})$
Ta có $2P=x^2+y^2+z^2+\frac{2x}{yz}+\frac{2y}{xz}+\frac{2z}{xy}$
Áp dụng AM-GM ta có
$z^2+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\geqslant 3$
$x^2+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\geqslant 3$
$y^2+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}\geqslant 3$
Cộng $3$ bất đẳng thức trên lại ta có $2P \geqslant 9$ $\Rightarrow P\geqslant \frac{9}2{}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
