Chủ đề này có 1 trả lời

[tienthcsln]

Cho tứ giác $ABCD$. Giả sử tổn tại 3 điểm $P_{1},P_{2},P_{3}$ không thẳng hàng thuộc miền trong của tứ giác thỏa mãn:

$S_{ABP_{i}}$$+S_{CDP_{i}}$$=S_{ADP_{i}}$$+S_{BCP_{i}}$ $\left ( i=1,2,3 \right )$.

C/m: tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

 

[BuiNguyenQuynhLinh]

Nếu M là điểm trong tứ giác ABCD thỏa 2S(MAB) + 2S(MCD) = S(ABCD) ta gọi M là điểm đẳng tích tứ giác ABCD

Nếu P,Q là các điểm đẳng tích ta gọi đường thẳng PQ là đường đẳng tích của tú giác ABCD

Ta có một nhận xét đơn giản sau:

       Nếu PQ là đường đẳng tích của tứ giác ABCD và điểm M thuộc PQ , M trong tứ giác thì M là điểm đẳng tích của tứ giác ABCD

( Ta chứng minh nhận xét này nhờ vào định lý Talet về sự song song của các đường vuông góc hạ từ M,P,Q tới AB,CD )

 

( M có thể thuộc các cạnh tứ giác ABCD)

 

Mặt khác gọi E là một điểm bất kì trong tứ giác ABCD, cho đường thẳng d quay quanh điểm E, dễ thấy d sẽ quét hết tứ giác ABCD (1)

Theo giả thiết P1,P2,P3 không thẳng hàng nên 3 điểm này tạo thành tam giác (2)

Từ (1,2) => tồn tại đường thẳng d cắt được 2 cạnh của tam giác P1P2P3        

Gọi 2 điểm này là X,Y thì rõ ràng X,Y là các điểm đẳng tích => XY là đường đẳng tích => E là điểm đẳng tích tứ giác ABCD

Vậy, mọi điểm thuộc miền trong tứ giác ABCD đều là các diểm đẳng tích của tứ giác ABCD

Trong hệ thống các điểm này ta lấy ra 4 điểm đặc biệt chính là đỉnh tứ gíac: A, B, C, D

Nhờ đó ta suy ra được AB \\ CD

                                    AD \\ BC

=> ABCD là hình bình hành