Chủ đề này có 5 trả lời

[banhgaongonngon]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN THI TOÁN

(Thời gian 180 phút)

 

Câu I (5 điểm)

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x^{3}-6x=8y^{3}-10y\\ x^{2}-4=2(1-4y^{2}) \end{matrix}\right.$

 

Câu II (4 điểm)

Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(O)$ và không đi qua $(O)$. Từ $O$ kẻ $OH$ vuông góc với $\Delta$ tại $H$. Qua điểm $M$ bất kỳ trên $\Delta$, kẻ các tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với $(O)$, ($A$ và $B$ là $2$ tiếp điểm). Gọi $K$ và $I$ là hình chiếu vuông góc lần lượt của $H$ xuống $MA$ và $MB$.

Chứng minh rằng đường thẳng $KI$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Câu III (4 điểm)

Cho $x$ và $y$ là các số nguyên. Biết rằng $2x^{2}-3xy+y^{2}-16x+22y$ và $x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y$ đều chia hết cho $97$.

Chứng minh rằng $xy-12x+15y$ chia hết cho $97$.

 

A. PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH KHỐI 11

 

Câu IV (4 điểm)

Cho ba số dương $a,b,c$.

Chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

 

Câu V (3 điểm)

Cho đa thức $P(x)=x^{2}+mx+n$ với $m,n$ là những số nguyên.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $P(k)=P(2013).P(2014)$

 

B. PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH KHỐI 12

 

Câu IV (4 điểm)

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )_{n=1}^{+ \propto }$ xác định như sau $\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{n+1}=\left [ \frac{5}{2}x_{n} \right ] ,(n\geq 1) \end{matrix}\right.$

(Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không lớn hơn số $x$)

Chứng minh rằng dãy $\left ( x_{n} \right )_{n=1}^{+ \propto }$ có vô số số hạng là số chẵn, có vô số số hạng là số lẻ.

 

Câu V (3 điểm)

Tìm tất cả các hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện sau

a)   $f(x+y)\leq f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

b)   $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 14-09-2013 - 19:57

[letankhang]

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN THI TOÁN

(Thời gian 180 phút)

 

\

 

A. PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH KHỐI 11

 

Câu IV (4 điểm)

Cho ba số dương $a,b,c$.

Chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

 

 

Chém bài dễ nhất vậy

Ta có :

Áp dụng BĐT AM-GM

$\sqrt{\frac{b+c}{a}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b+c}{a}+1)=\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Tương tự với các BĐT còn lại và công tất cả vế theo vế ta được :

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$

Mà dấu bằng không xảy ra do $a;b;c$ dương

Nên ta có $(đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 14-09-2013 - 20:01

[nghiemthanhbach]

Câu IV của lớp 11 có thể tham khảo tại đây: http://diendantoanho...bcasqrtfraccab/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 14-09-2013 - 22:09

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}x^3 - 8y^3 = 6x - 10y\\x^2 + 8y^2 = 6\end{matrix}\right. \Rightarrow 6(x^3 - 8y^3) = (6x - 10y)(x^2 + 8y^2)$

$\Leftrightarrow 16y^3 - 24xy^2 + 5x^2y = 0 \Leftrightarrow y(16y^2 - 24xy + 5x^2 ) = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 14-09-2013 - 20:02

[Juliel]

Câu V (3 điểm)

Cho đa thức $P(x)=x^{2}+mx+n$ với $m,n$ là những số nguyên.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $P(k)=P(2013).P(2014)$

 

Ta sẽ chứng minh rằng $P(P(x)+x)\equiv P(x).P(x+1)$.

Thật vậy,

$$P(P(x)+x)=\left ( x^{2}+mx+n+x \right )^{2}+m(x^{2}+mx+n+x)+n=\left ( P(x)+x \right )^{2}+m.\left ( P(x)+x \right )+n=P^{2}(x)+2x.P(x)+x^{2}+m.P(x)+mx+n=P(x)\left [ P(x)+2x+m \right ]+x^{2}+mx+n=P(x)\left [ P(x)+2x+m \right ]+P(x)=P(x)\left [ (x^{2}+mx+n)+2x+m+1 \right ]=P(x).\left [ (x+1)^{2}+m(x+1)+n \right ]=P(x).P(x+1)$$

Như vậy nếu cho $x=2013$ và đặt $k=P(P(2013)+2013)$ thì $k$ chính là số nguyên thỏa mãn :

$$P(k)=P(2013).P(2014)$$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 14-09-2013 - 20:08

[PT42]

Câu III (4 điểm)

Cho $x$ và $y$ là các số nguyên. Biết rằng $2x^{2}-3xy+y^{2}-16x+22y$ và $x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y$ đều chia hết cho $97$.

Chứng minh rằng $xy-12x+15y$ chia hết cho $97$.

Có $x^{2} - 3xy + 2y^{2} + x - y = (x - y)(x - 2y + 1) \vdots 97$ mà 97 là số nguyên tố nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau :

 

Trường hợp 1: $x - y \vdots 97$ 

Mà $2x^{2} - 3xy + y^{2} - 16x + 22y = (x - y)(2x - y - 16) + 6y \vdots 97$ 

nên suy ra $y\vdots 97$ (vì (6, 97) = 1) . Lại có $x - y\vdots 97$ nên $x \vdots 97$

$\Rightarrow xy - 12x + 15y \vdots 97$

 

Trường hợp 2 : $x - 2y + 1\vdots 97$ $\Rightarrow x \equiv 2y - 1 (mod 97)$

$\Rightarrow 2x^{2} - 3xy + y^{2} - 16x + 22y \equiv 2(2y - 1)^{2} - 3(2y - 1)y + y^{2} - 16(2y - 1) + 22y \equiv 0 (mod 97)$

$\Rightarrow 3y^{2} - 15y + 18 \equiv 0 (mod 97)$

$\Rightarrow y^{2} - 5y + 6 \equiv 0 (mod 97)$ (vì (97, 3) = 1) (1)

 

Lại có $xy - 12x + 15y \vdots 97$ $\Leftrightarrow (2y - 1)y - 12(2y - 1) + 15y \equiv 0 (mod 97)$

$\Leftrightarrow 2y^{2} - 10y + 12 \equiv 0 (mod 97)$

$\Leftrightarrow y^{2} - 5y + 6 \equiv 0 (mod 97)$ (vì (97, 2) = 1) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $xy - 12x + 15y$ $\vdots$ 97

 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 14-09-2013 - 20:53