ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI TOÁN
(Thời gian 180 phút)
Câu I (5 điểm)
Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x^{3}-6x=8y^{3}-10y\\ x^{2}-4=2(1-4y^{2}) \end{matrix}\right.$
Câu II (4 điểm)
Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(O)$ và không đi qua $(O)$. Từ $O$ kẻ $OH$ vuông góc với $\Delta$ tại $H$. Qua điểm $M$ bất kỳ trên $\Delta$, kẻ các tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với $(O)$, ($A$ và $B$ là $2$ tiếp điểm). Gọi $K$ và $I$ là hình chiếu vuông góc lần lượt của $H$ xuống $MA$ và $MB$.
Chứng minh rằng đường thẳng $KI$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu III (4 điểm)
Cho $x$ và $y$ là các số nguyên. Biết rằng $2x^{2}-3xy+y^{2}-16x+22y$ và $x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y$ đều chia hết cho $97$.
Chứng minh rằng $xy-12x+15y$ chia hết cho $97$.
A. PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH KHỐI 11
Câu IV (4 điểm)
Cho ba số dương $a,b,c$.
Chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$
Câu V (3 điểm)
Cho đa thức $P(x)=x^{2}+mx+n$ với $m,n$ là những số nguyên.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $P(k)=P(2013).P(2014)$
B. PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH KHỐI 12
Câu IV (4 điểm)
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )_{n=1}^{+ \propto }$ xác định như sau $\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{n+1}=\left [ \frac{5}{2}x_{n} \right ] ,(n\geq 1) \end{matrix}\right.$
(Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không lớn hơn số $x$)
Chứng minh rằng dãy $\left ( x_{n} \right )_{n=1}^{+ \propto }$ có vô số số hạng là số chẵn, có vô số số hạng là số lẻ.
Câu V (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện sau
a) $f(x+y)\leq f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$
b) $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x)}{x}=1$
Edited by banhgaongonngon, 14-09-2013 - 19:57.