Cho $a, b $ là các số thực thỏa mãn: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq 6$
Chứng minh: $3\leq a^{4}+b^{4}+ab\leq \frac{265}{4} $
Cho $a, b $ là các số thực thỏa mãn: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq 6$
Chứng minh: $3\leq a^{4}+b^{4}+ab\leq \frac{265}{4} $
James Moriarty
Min: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow 6\leq 3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow 2\leq a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}+ab\geq a^{2}+b^{2}+ab$
Max:$a^{4}+b^{4}+ab=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}+ab=[(a+b)^{2}-2ab]^{2}-2a^{2}b^{2}+ab$
Từ giả thiết ta có: $(a+b)^{2}-ab\leq 6$.
đặt $(a+b)=x,ab=y$.Nên ta có $x^{2}-y\leq 6$
Cần chứng minh $(x^{2}-2y)-2y^{2}+y\leq (6-y)^{2}-2y^{2}+y$.đến đây thì việc chứng minh hoàn tất
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh